Calcule as distâncias entre:
o ponto P(1,2,3) e a reta r: x-3=\frac{y-1}{2}=\frac{z+1}{2}.

Passo 1

O enunciado pede a distância entre o ponto P(1,2,3) e a reta
r:\;x-3=\frac{y-1}{2}=\frac{z+1}{2}.
O conteúdo aqui é “distância de um ponto a uma reta em \mathbb{R}^3”. Vamos usar a fórmula
\mathrm{dist}(P,r) =\frac{\bigl\|\overrightarrow{AP}\times\mathbf{v}\bigr\|}{\|\mathbf{v}\|},
onde A é um ponto qualquer da reta e \mathbf{v} é o vetor diretor de r.

Passo 2

Da forma simétrica
x-3=\frac{y-1}{2}=\frac{z+1}{2}=t
vemos que um ponto na reta é
A=(3,1,-1)
e o vetor diretor é
\mathbf{v}=(1,2,2).

Passo 3

Calculamos o vetor que vai de A a P:
\overrightarrow{AP} = P - A = (1-3,\;2-1,\;3-(-1)) = (-2,\,1,\,4).

Passo 4

Agora o produto vetorial
\overrightarrow{AP}\times\mathbf{v} =\begin{vmatrix} \mathbf{i}&\mathbf{j}&\mathbf{k}\\\\ -2&1&4\\\\ 1&2&2 \end{vmatrix} =(-6,\,8,\,-5).

Passo 5

As normas são
\bigl\|\overrightarrow{AP}\times\mathbf{v}\bigr\| =\sqrt{(-6)^2+8^2+(-5)^2} =\sqrt{36+64+25} =\sqrt{125} =5\sqrt{5},
\|\mathbf{v}\| =\sqrt{1^2+2^2+2^2} =\sqrt{9} =3.

Passo 6

Aplicando a fórmula da distância:
d =\frac{5\sqrt{5}}{3}.

Resposta

\displaystyle \frac{5\sqrt{5}}{3}

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