Calcule as distâncias entre:
os planos 2 x-y+z=5 e 6 x-3 y+3 z=-9.

Passo 1

O enunciado pede a distância entre os planos
2x - y + z = 5
e
6x - 3y + 3z = -9.
Este é um problema de distância entre planos paralelos. Para resolver, vamos precisar (1) verificar que eles são paralelos comparando seus vetores normais e (2) usar a fórmula da distância entre dois planos paralelos.

Passo 2

Extraímos os vetores normais de cada plano:
o plano 2x - y + z = 5 tem normal \mathbf{n}_1 = (2, -1, 1),
o plano 6x - 3y + 3z = -9 tem normal \mathbf{n}_2 = (6, -3, 3).

Passo 3

Note que \mathbf{n}_2 = 3\,\mathbf{n}_1. Como um normal é múltiplo escalar do outro, os planos são paralelos.

Passo 4

Para aplicar a fórmula da distância, escrevemos ambos com o mesmo vetor normal. Multiplicamos a equação do primeiro plano por 3:
6x - 3y + 3z - 15 = 0,
enquanto o segundo já é
6x - 3y + 3z + 9 = 0.
Assim, em forma ax+by+cz+d=0 temos d_1 = -15 e d_2 = +9, com (a,b,c)=(6,-3,3).

Passo 5

A distância D entre dois planos paralelos ax+by+cz+d_1=0 e ax+by+cz+d_2=0 é
D = \frac{\bigl|d_2 - d_1\bigr|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}.
Aqui,
\bigl|d_2 - d_1\bigr| = |9 - (-15)| = 24,
\sqrt{a^2 + b^2 + c^2} = \sqrt{6^2 + (-3)^2 + 3^2} = \sqrt{36 + 9 + 9} = \sqrt{54} = 3\sqrt{6}.
Logo,
D = \frac{24}{3\sqrt{6}} = \frac{8}{\sqrt{6}} = \frac{4\sqrt{6}}{3}.

Resposta

A distância entre os planos é \displaystyle \frac{4\sqrt{6}}{3}.

Exercícios relacionados