Calcule div (F) e rot (F) sendo:
(a) F(x, y, z)=(sin x y, cos x y, z);
(b) F(x, y, z)=y e^= i+x e^x j+x y e^x k;
© F(x, y, z)=(2 z-3 y, 3 x-z, y-2 x);
(d) F(x, y, z)=(z+sen y) i-(z-x cos y) j;
© F(x, y, z)=(6 x y^3+2 z^2, 9 x^2 y^2, 4 x z+1).

Passo 1

A gente quer calcular a divergência e o rotacional (rotor) de cada campo vetorial. A divergência de F=(Fx,Fy,Fz) é definida por divF=partial Fxpartial x+partial Fypartial y+partial Fzpartial z. O rotacional é nablatimesF=l(partial Fzpartial y-partial Fypartial z,,partial Fxpartial z-partial Fzpartial x,,partial Fypartial x-partial Fxpartial yr).

Passo 2

Para o item F(x,y,z)=(sin(xy),,cos(xy),,z) calculamos
divF=ycos(xy)-xsin(xy)+1.
O rotacional dá
nablatimesF=(0,,0,,-[ysin(xy)+xcos(xy)]).

Passo 3

Para F(x,y,z)=(y e^x,,x e^x,,xy e^x) temos
divF=(x+y)e^x.
O rotacional é
nablatimesF=(x e^x,,-y e^x(1+x),,x e^x).

Passo 4

Em F(x,y,z)=(2z-3y,,3x-z,,y-2x) a divergência vale zero, pois cada derivada parcial é nula. O rotacional fica
nablatimesF=(2,,4,,6).

Passo 5

Para F(x,y,z)=(z+sin y,,-(z-xcos y),,0) obtemos
divF=-xsin y.
O rotacional é
nablatimesF=(1,,1,,0).

Passo 6

No caso F(x,y,z)=(6xy^3+2z^2,,9x^2y^2,,4xz+1) a divergência dá
6y^3+18x^2y+8z,
e o rotacional é nulo: nablatimesF=(0,0,0).

Resposta

(a) divF=ycos(xy)-xsin(xy)+1, nablatimesF=(0,0,-[ysin(xy)+xcos(xy)]).
(b) divF=(x+y)e^x, nablatimesF=(x e^x,-y e^x(1+x),x e^x).
© divF=0, nablatimesF=(2,4,6).
(d) divF=-xsin y, nablatimesF=(1,1,0).
(e) divF=6y^3+18x^2y+8z, nablatimesF=(0,0,0).

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