Calcule integralC z d x+y d y-z^2 d z, onde C co seqmento de reta do ponto P=(1,0,0) ao ponto Q=(0,1, 12).
Resp. 524.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral de linha: integralC z , dx + y , dy - z^2 , dz. A gente tem que calcular isso ao longo de um segmento de reta que vai do ponto P = (1, 0, 0) até o ponto Q = (0, 1, 12). Para resolver, vamos usar parametrização de curvas e integração de funções vetoriais.

Passo 2

Primeiro, vamos parametrizar o segmento de reta de P a Q. Isso significa que vamos expressar x, y e z em termos de um parâmetro t que varia de 0 a 1. A parametrização linear é dada por:
r(t) = P + t(Q - P)
Então, calculando Q - P:
Q - P = (0 - 1, 1 - 0, 12 - 0) = (-1, 1, 12)
Portanto, a parametrização fica:
x(t) = 1 - t
y(t) = 0 + t = t
z(t) = 0 + t cdot 12 = t2

Passo 3

Agora, vamos calcular as derivadas de x(t), y(t) e z(t) em relação a t, que são necessárias para substituir na integral:
dxdt = -1
dydt = 1
dzdt = 12

Passo 4

Substituímos x(t), y(t), z(t), dxdt, dydt e dzdt na integral original. A integral de linha se transforma em uma integral definida de t = 0 a t = 1:
integral0^1 [ z(t) cdot dxdt + y(t) cdot dydt - z(t)^2 cdot dzdt ] dt
Substituindo:
z(t) = t2, y(t) = t
dxdt = -1, dydt = 1, dzdt = 12
Então:
integral0^1 [ t2 cdot (-1) + t cdot 1 - (t2)^2 cdot 12 ] dt

Passo 5

Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
t2 cdot (-1) = -t2
t cdot 1 = t
(t2)^2 cdot 12 = t^24 cdot 12 = t^28
Então, a integral fica:
integral0^1 ( -t2 + t - t^28 ) dt = integral0^1 ( t2 - t^28 ) dt

Passo 6

Agora, vamos integrar termo a termo:
integral t2 , dt = 12 cdot t^22 = t^24
integral t^28 , dt = 18 cdot t^33 = t^324
Então, a integral se torna:
[ t^24 - t^324 ]0^1

Passo 7

Finalmente, avaliamos de t = 0 a t = 1:
Para t = 1:
1^24 - 1^324 = 14 - 124 = 624 - 124 = 524
Para t = 0:
0^24 - 0^324 = 0 - 0 = 0
Então, a diferença é:
524 - 0 = 524

Resposta

524

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