O seguinte exercício fornece uma maneira de calcular a área de um poligono qualquer no plano.
(a) Mostre que
, onde
é o segmento de reta com ponto inicial
e ponto final
;
(b) Considere o poligono
de vértices
(ordenados no sentido anti-horário). Mostre que a área de
é dada pela metade de
(a) Mostre que
(b) Considere o poligono
Passo 1
O exercício trata de usar integrais de linha e o Teorema de Green para calcular áreas de polígonos no plano. Vamos precisar conhecer como parametrizar um segmento de reta para calcular uma integral do tipo ∫C x dy − y dx e depois somar essas contribuições nas arestas do polígono.
Passo 2
Para (a), parametrize o segmento de reta C ligando (a₁,b₁) a (a₂,b₂) por um parâmetro t∈[0,1]:
Então
dx=(a₂−a₁)dt e dy=(b₂−b₁)dt. Substituindo em
dx=(a₂−a₁)dt e dy=(b₂−b₁)dt. Substituindo em
passamos a integrar em t
e obtemos
e obtemos
onde Δa=a₂−a₁ e Δb=b₂−b₁. Note que os termos em t se cancelam (Δa·Δb−Δb·Δa=0), sobrando
Passo 3
Para (b), seja P o polígono com vértices (a₁,b₁),(a₂,b₂),…,(aₙ,bₙ) em ordem anti-horária. Pela versão plana do Teorema de Green, a área A de P satisfaz
Como ∂P é a junção dos n segmentos i→i+1 (com n+1≡1), usamos o resultado de (a) em cada aresta. Somando todos os contribuintes:
com a_{n+1}=a₁ e b_{n+1}=b₁. Portanto,
Resposta
A área do polígono P é