O seguinte exercício fornece uma maneira de calcular a área de um poligono qualquer no plano.
(a) Mostre que integralC x d y-y d x=a1 b2-a2 b1, onde C é o segmento de reta com ponto inicial (a1, b1) e ponto final (a2, b2);
(b) Considere o poligono P de vértices (a1, b1),(a2, b2), ldots,(an, bn) (ordenados no sentido anti-horário). Mostre que a área de P é dada pela metade de
(a1 b2-a2 b1)+(a2 b3-a3 b2)+ldots+(an-1 bn-an bn-1)+(an b1-a1 bn)

Passo 1

O exercício trata de usar integrais de linha e o Teorema de Green para calcular áreas de polígonos no plano. Vamos precisar conhecer como parametrizar um segmento de reta para calcular uma integral do tipo ∫C x dy − y dx e depois somar essas contribuições nas arestas do polígono.

Passo 2

Para (a), parametrize o segmento de reta C ligando (a₁,b₁) a (a₂,b₂) por um parâmetro t∈[0,1]:
x(t)=a₁+t(a₂−a₁),
y(t)=b₁+t(b₂−b₁)
Então
dx=(a₂−a₁)dt e dy=(b₂−b₁)dt. Substituindo em
integralC xdy−ydx=integral0^1l[x(t),dy(t);−;y(t),dx(t)r],
passamos a integrar em t
e obtemos
integral0^1l[(a₁+tΔa)Δb−(b₁+tΔb)Δar]dt,
onde Δa=a₂−a₁ e Δb=b₂−b₁. Note que os termos em t se cancelam (Δa·Δb−Δb·Δa=0), sobrando
Δb·a₁−Δa·b₁=a₁(b₂−b₁)−b₁(a₂−a₁)=a₁b₂−a₂b₁

Passo 3

Para (b), seja P o polígono com vértices (a₁,b₁),(a₂,b₂),…,(aₙ,bₙ) em ordem anti-horária. Pela versão plana do Teorema de Green, a área A de P satisfaz
A=12oint∂Pl(xdy−ydxr)
Como ∂P é a junção dos n segmentos i→i+1 (com n+1≡1), usamos o resultado de (a) em cada aresta. Somando todos os contribuintes:
oint∂P(xdy−ydx)=sumi=1^nl(ai bi+1-ai+1bir),
com a_{n+1}=a₁ e b_{n+1}=b₁. Portanto,
A=12sumi=1^nl(ai bi+1-ai+1bir)

Resposta

A área do polígono P é
A=12l[(a1b2-a2b1)+(a2b3-a3b2)+cdots+(an-1bn-anbn-1)+(anb1-a1bn)r]

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