7- calcule a divergência de cada um dos campos vetoriais para os pontos indicados:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a divergência do campo vetorial dado no ponto indicado. Informações fornecidas (peguei tudo do enunciado):
- O campo vetorial é
Aqui
são os versores em coordenadas cilíndricas e as componentes do campo são, portanto,
- O ponto onde devemos avaliar é
, ou seja , , .
Passo 2
Vou lembrar a fórmula da divergência em coordenadas cilíndricas e explicar o que cada termo representa. Para um campo
a divergência em coordenadas cilíndricas é dada por
O significado rápido de cada termo:
-
trata e como constantes; mede variação radial. -
trata e como constantes; mede variação angular. -
trata e como constantes; mede variação axial.
O fatoraparece por causa da geometria cilíndrica (áreas/circunferências crescem com ).
Passo 3
Agora aplico a fórmula ao campo
. Substituindo
,
,
:
Passo 4
Calculo cada termo separadamente, lembrando que ao derivar em relação a uma variável as outras são tratadas como constantes.
- Primeiro termo:
portanto
Assim
- Segundo termo:
portanto
- Terceiro termo:
pois
e
são constantes quando derivamos em
.
Passo 5
Somando os três termos:
Portanto a divergência do campo é identicamente zero (em todos os pontos onde o campo está definido). Para conferir no ponto pedido, posso substituir os valores:
e o segundo termo é
, que cancela, resultando em
.