7- calcule a divergência de cada um dos campos vetoriais para os pontos indicados:
\vec{D}=z \operatorname{sen} \varphi \vec{a} \rho+z \cos \varphi \vec{a} \varphi+\rho \operatorname{sen} \varphi \vec{a} z . P b\left(2, \frac{\pi}{2}, 3\right)

Passo 1

O enunciado pede para calcular a divergência do campo vetorial dado no ponto indicado. Informações fornecidas (peguei tudo do enunciado):
  • O campo vetorial é
\vec{D} = z\,\operatorname{sen}\varphi\,\vec{a}_\rho + z\,\cos\varphi\,\vec{a}_\varphi + \rho\,\operatorname{sen}\varphi\,\vec{a}_z.
Aqui \vec{a}_\rho,\vec{a}_\varphi,\vec{a}_z são os versores em coordenadas cilíndricas e as componentes do campo são, portanto,
D_\rho(\rho,\varphi,z)=z\,\operatorname{sen}\varphi,\qquad D_\varphi(\rho,\varphi,z)=z\,\cos\varphi,\qquad D_z(\rho,\varphi,z)=\rho\,\operatorname{sen}\varphi.
  • O ponto onde devemos avaliar é P_b\bigl(2,\tfrac{\pi}{2},3\bigr), ou seja \rho=2, \varphi=\tfrac{\pi}{2}, z=3.

Passo 2

Vou lembrar a fórmula da divergência em coordenadas cilíndricas e explicar o que cada termo representa. Para um campo
\vec{V}=V_\rho(\rho,\varphi,z)\,\vec{a}_\rho+V_\varphi(\rho,\varphi,z)\,\vec{a}_\varphi+V_z(\rho,\varphi,z)\,\vec{a}_z,
a divergência em coordenadas cilíndricas é dada por
\nabla\cdot\vec{V}=\frac{1}{\rho}\frac{\partial}{\partial\rho}\bigl(\rho\,V_\rho\bigr)+\frac{1}{\rho}\frac{\partial V_\varphi}{\partial\varphi}+\frac{\partial V_z}{\partial z}.
O significado rápido de cada termo:
  • \frac{\partial}{\partial\rho} trata \varphi e z como constantes; mede variação radial.
  • \frac{\partial}{\partial\varphi} trata \rho e z como constantes; mede variação angular.
  • \frac{\partial}{\partial z} trata \rho e \varphi como constantes; mede variação axial.
    O fator 1/\rho aparece por causa da geometria cilíndrica (áreas/circunferências crescem com \rho).

Passo 3

Agora aplico a fórmula ao campo \vec{D}. Substituindo V_\rho=D_\rho, V_\varphi=D_\varphi, V_z=D_z:
\nabla\cdot\vec{D}=\frac{1}{\rho}\frac{\partial}{\partial\rho}\bigl(\rho\cdot z\,\operatorname{sen}\varphi\bigr)+\frac{1}{\rho}\frac{\partial}{\partial\varphi}\bigl(z\,\cos\varphi\bigr)+\frac{\partial}{\partial z}\bigl(\rho\,\operatorname{sen}\varphi\bigr).

Passo 4

Calculo cada termo separadamente, lembrando que ao derivar em relação a uma variável as outras são tratadas como constantes.
  1. Primeiro termo:
\rho\cdot z\,\operatorname{sen}\varphi = z\,\operatorname{sen}\varphi\;\rho,
portanto
\frac{\partial}{\partial\rho}\bigl(\rho\,z\,\operatorname{sen}\varphi\bigr)=z\,\operatorname{sen}\varphi.
Assim
\frac{1}{\rho}\frac{\partial}{\partial\rho}\bigl(\rho\,D_\rho\bigr)=\frac{1}{\rho}\,z\,\operatorname{sen}\varphi=\frac{z\,\operatorname{sen}\varphi}{\rho}.
  1. Segundo termo:
\frac{\partial}{\partial\varphi}\bigl(z\,\cos\varphi\bigr)=z\cdot\frac{d}{d\varphi}(\cos\varphi)=z\cdot(-\operatorname{sen}\varphi)=-z\,\operatorname{sen}\varphi,
portanto
\frac{1}{\rho}\frac{\partial D_\varphi}{\partial\varphi}=\frac{1}{\rho}\bigl(-z\,\operatorname{sen}\varphi\bigr)=-\frac{z\,\operatorname{sen}\varphi}{\rho}.
  1. Terceiro termo:
\frac{\partial}{\partial z}\bigl(\rho\,\operatorname{sen}\varphi\bigr)=0,
pois \rho e \varphi são constantes quando derivamos em z.

Passo 5

Somando os três termos:
\nabla\cdot\vec{D}=\frac{z\,\operatorname{sen}\varphi}{\rho}-\frac{z\,\operatorname{sen}\varphi}{\rho}+0=0.
Portanto a divergência do campo é identicamente zero (em todos os pontos onde o campo está definido). Para conferir no ponto pedido, posso substituir os valores:
\frac{z\,\operatorname{sen}\varphi}{\rho}=\frac{3\cdot\operatorname{sen}\tfrac{\pi}{2}}{2}=\frac{3\cdot 1}{2}=\tfrac{3}{2},
e o segundo termo é -\tfrac{3}{2}, que cancela, resultando em 0.

Resposta

0

Exercícios relacionados