7- calcule a divergência de cada um dos campos vetoriais para os pontos indicados:
\vec{D}=4 x^{3} y^{3} z^{2} \vec{a} x+3 x^{4} y^{2} z^{2} \vec{a} y+2 x^{4} y^{3} \vec{a} z . \operatorname{Pa}(1,2,3)

Passo 1

O enunciado fornece o campo vetorial e o ponto onde devemos avaliar a divergência. Peguei estes dados do enunciado:
  • Campo vetorial
\vec{D}=4 x^{3} y^{3} z^{2}\,\vec{a}_x+3 x^{4} y^{2} z^{2}\,\vec{a}_y+2 x^{4} y^{3}\,\vec{a}_z.
  • Ponto onde avaliar: \operatorname{Pa}(1,2,3), ou seja (x,y,z)=(1,2,3).
O que o problema pede: calcular a divergência do campo \vec{D} no ponto (1,2,3).

Passo 2

Definição e fórmula que vou usar (aulas rápidas):
  • A divergência de um campo vetorial \vec{D}=D_x\,\vec{a}_x+D_y\,\vec{a}_y+D_z\,\vec{a}_z é dada por
\nabla\cdot\vec{D}=\frac{\partial D_x}{\partial x}+\frac{\partial D_y}{\partial y}+\frac{\partial D_z}{\partial z}.
  • Regra prática: ao derivar parcialmente uma função em relação a uma variável, trata-se as outras como constantes.
  • Regra do poder: \dfrac{d}{dx}x^{n}=n x^{n-1}. Se tiver fatores multiplicativos que não dependem da variável, eles saem como constantes.

Passo 3

Identificar as componentes (peguei-as do enunciado):
D_x(x,y,z)=4 x^{3} y^{3} z^{2},\qquad D_y(x,y,z)=3 x^{4} y^{2} z^{2},\qquad D_z(x,y,z)=2 x^{4} y^{3}.

Passo 4

Calcular \dfrac{\partial D_x}{\partial x} usando a regra do poder, tratando y e z como constantes:
\frac{\partial D_x}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}\big(4 x^{3} y^{3} z^{2}\big) =4 y^{3} z^{2}\cdot\frac{d}{dx}x^{3} =4 y^{3} z^{2}\cdot 3 x^{2} =12 x^{2} y^{3} z^{2}.

Passo 5

Calcular \dfrac{\partial D_y}{\partial y} tratando x e z como constantes:
\frac{\partial D_y}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}\big(3 x^{4} y^{2} z^{2}\big) =3 x^{4} z^{2}\cdot\frac{d}{dy}y^{2} =3 x^{4} z^{2}\cdot 2 y =6 x^{4} y z^{2}.

Passo 6

Calcular \dfrac{\partial D_z}{\partial z}. Note que D_z=2 x^{4} y^{3} não depende de z, logo a derivada parcial em relação a z é zero:
\frac{\partial D_z}{\partial z}=0.

Passo 7

Somar as derivadas parciais para obter a expressão da divergência:
\nabla\cdot\vec{D}=12 x^{2} y^{3} z^{2}+6 x^{4} y z^{2}+0 =12 x^{2} y^{3} z^{2}+6 x^{4} y z^{2}.

Passo 8

Avaliar em (x,y,z)=(1,2,3). Vou fazer as contas passo a passo:
  • Calcular 12 x^{2} y^{3} z^{2} em (1,2,3):
12\cdot 1^{2}\cdot 2^{3}\cdot 3^{2}=12\cdot 1\cdot 8\cdot 9=12\cdot 72=864.
  • Calcular 6 x^{4} y z^{2} em (1,2,3):
6\cdot 1^{4}\cdot 2\cdot 3^{2}=6\cdot 1\cdot 2\cdot 9=6\cdot 18=108.
  • Somar os termos:
864+108=972.

Resposta

\nabla\cdot\vec{D}(1,2,3)=972

Exercícios relacionados