Calcule o Divergente dos campos vetoriais a seguir:
V(x, y)=(-y, x)

Passo 1

O enunciado pede para calcular o divergente do campo vetorial V(x,y)=(-y,\,x). O conteúdo da matéria é cálculo vetorial em \mathbb{R}^2, em particular o operador divergente, que envolve derivadas parciais das componentes do campo.

Passo 2

Pela definição, o divergente de V é
\mathrm{div}\,V \;=\; \frac{\partial V_x}{\partial x} \;+\; \frac{\partial V_y}{\partial y},
em que V_x(x,y)=-y e V_y(x,y)=x.

Passo 3

Calcular \displaystyle \frac{\partial V_x}{\partial x}. Como V_x(x,y)=-y é independente de x, segue que
\frac{\partial V_x}{\partial x} = 0.

Passo 4

Calcular \displaystyle \frac{\partial V_y}{\partial y}. Como V_y(x,y)=x é independente de y, segue que
\frac{\partial V_y}{\partial y} = 0.

Passo 5

Somando as duas derivadas parciais, obtemos
\mathrm{div}\,V = 0 + 0 = 0.

Resposta

O divergente de V(x,y)=(-y,\,x) é 0.

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