Resolva as EDO’s usando mudança de vriáveis:
y^{\prime}=(x+y)^{2}

Passo 1

O enunciado pede para resolver a EDO de primeira ordem
y' = (x + y)^{2}
usando mudança de variável. O conteúdo aqui é reconhecer que a combinação x+y sugere a substituição de uma nova variável que torne a equação separável.

Passo 2

Fazemos a substituição
u = x + y.
Como y = u - x, temos
\frac{dy}{dx} = \frac{du}{dx} - 1.

Passo 3

Substituindo na EDO original,
y' = (x+y)^{2} \quad\Longrightarrow\quad \frac{du}{dx} - 1 = u^{2},
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\frac{du}{dx} = u^{2} + 1.

Passo 4

Agora a equação está separável. Escrevemos
\frac{du}{u^{2}+1} = dx
e integramos ambos os lados:
\int \frac{du}{u^{2}+1} = \int dx \quad\Longrightarrow\quad \arctan(u) = x + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 5

Voltando à variável original, u = x+y, temos
\arctan\bigl(x+y\bigr) = x + C \quad\Longrightarrow\quad x + y = \tan\bigl(x + C\bigr).
Isolando y, obtemos
y(x) = \tan\bigl(x + C\bigr) \;-\; x.

Resposta

\boxed{y(x) = \tan\bigl(x + C\bigr) - x,}
com C constante arbitrária.

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