Resolva as EDO’s homogêneas:
y^{\prime}=e^{y / x}+\frac{y}{x}

Passo 1

O enunciado nos dá a EDO
y' = e^{y/x} + \frac{y}{x}
que é do tipo homogêneo de primeira ordem, pois o termo à direita depende apenas da razão y/x. Para resolver, vamos usar a substituição
y = v\,x
de modo que v = y/x.

Passo 2

Com y = v x temos
y' = \frac{d}{dx}(v x) = v + x\,\frac{dv}{dx}.
Substituindo na equação original,
v + x\frac{dv}{dx} = e^{v} + v.

Passo 3

Cancelando v dos dois lados, fica
x\frac{dv}{dx} = e^{v}
ou seja
\frac{dv}{dx} = \frac{e^{v}}{x}.
Esta é uma equação separável. Separamos as variáveis:
e^{-v}\,dv = \frac{dx}{x}.

Passo 4

Integramos ambos os lados:
\int e^{-v}\,dv = \int \frac{dx}{x}
-\,e^{-v} = \ln\lvert x\rvert + C.

Passo 5

Voltando à variável original v = y/x, temos
e^{-\,y/x} = -\,\ln\lvert x\rvert - C = C_{1} - \ln\lvert x\rvert.
Reescrevendo em forma implícita mais usual, obtemos
e^{-\,y/x} + \ln\lvert x\rvert = C,
onde C é constante arbitrária.

Resposta

e^{-\,y/x} + \ln\lvert x\rvert = C.

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