Calcule o divergente dos seguintes campos vetoriais:
.
6. Encontre o laplaciano dos seguintes campos escalares.
(i)
.
6. Encontre o laplaciano dos seguintes campos escalares.
(i)
Passo 1
Então, vamos lá! A gente tem que encontrar o laplaciano do campo escalar $ T(x, y, z) = x^{4} + 2x{2}y{2} - 3z + 2 $. O laplaciano é uma operação matemática que, basicamente, mede a soma das segundas derivadas parciais de uma função em relação a cada uma das suas variáveis. Para resolver isso, vamos precisar saber como calcular derivadas parciais e entender a definição do laplaciano.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a definição do laplaciano para uma função $ T(x, y, z) $:
Ou seja, a gente calcula a segunda derivada de $ T $ em relação a $ x $, depois em relação a $ y $, e depois em relação a $ z $, e soma tudo isso.
Passo 3
Vamos começar calculando a segunda derivada de $ T $ em relação a $ x $:
Primeira derivada em relação a $ x $:
Agora, a segunda derivada em relação a $ x $:
Passo 4
Agora, vamos calcular a segunda derivada de $ T $ em relação a $ y $:
Primeira derivada em relação a $ y $:
Primeira derivada em relação a $ y $:
Segunda derivada em relação a $ y $:
Passo 5
Por último, vamos calcular a segunda derivada de $ T $ em relação a $ z $:
Primeira derivada em relação a $ z $:
Primeira derivada em relação a $ z $:
Segunda derivada em relação a $ z $:
Pois a derivada de uma constante (
) é zero.
Passo 6
Agora que temos todas as segundas derivadas, vamos somar elas para encontrar o laplaciano:
Resposta
O laplaciano do campo escalar $ T(x, y, z) $ é: