Encontre o laplaciano dos seguintes campos escalares:
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Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar o laplaciano do campo escalar $ T(x, y, z) = x^{4} + 2x{2}y{2} - 3z + 2 $. Isso está dentro do conteúdo de Cálculo Multivariável, especificamente relacionado a operadores diferenciais. Para resolver isso, vamos precisar conhecer o que é o laplaciano e como calculá-lo para uma função de várias variáveis.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o laplaciano. O laplaciano de uma função escalar $ T(x, y, z) $ é um operador que envolve as segundas derivadas parciais dessa função em relação às suas variáveis. Matematicamente, é representado por:
Ou seja, precisamos calcular as segundas derivadas de $ T $ em relação a $ x $, $ y $ e $ z $ e somá-las.
Passo 3
Vamos começar calculando a primeira derivada de $ T $ em relação a $ x $:
Calculando cada termo:
Então,
Agora, a segunda derivada em relação a $ x $:
Passo 4
Agora, vamos fazer a mesma coisa para $ y $. Primeiro, a primeira derivada de $ T $ em relação a $ y $:
Calculando cada termo:
Então,
Agora, a segunda derivada em relação a $ y $:
Passo 5
Por último, vamos calcular as derivadas em relação a $ z $. Primeira derivada de $ T $ em relação a $ z $:
Calculando cada termo:
Então,
Agora, a segunda derivada em relação a $ z $:
Resposta
Agora que temos todas as segundas derivadas, vamos somá-las para obter o laplaciano:
Então, o laplaciano de $ T(x, y, z) $ é: