Seja um campo vetorial
dado por
. Calcule o divergente e o rotacional desse campo.
5. Calcule o divergente dos seguintes campos vetoriais:
(i)
.
5. Calcule o divergente dos seguintes campos vetoriais:
(i)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é para calcular o divergente de um campo vetorial específico. A matéria envolvida é Cálculo Vetorial, mais precisamente o conceito de divergente. Para resolver isso, a gente vai precisar saber a fórmula do divergente e como aplicar as derivadas parciais nos componentes do campo vetorial.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar da fórmula do divergente. Se temos um campo vetorial
, o divergente é dado por:
Ou seja, a soma das derivadas parciais de cada componente do vetor em relação à sua própria variável.
Passo 3
Agora, vamos identificar os componentes do nosso campo vetorial
:
Passo 4
Vamos calcular cada derivada parcial individualmente.
Primeiro, a derivada de
em relação a
:
Passo 5
Segundo, a derivada de
em relação a
:
Pois
não depende de
, então a derivada em relação a
é zero.
Passo 6
Terceiro, a derivada de
em relação a
:
Lembrando que a derivada de
em relação a
é
, por isso temos o sinal negativo.
Passo 7
Agora, juntando tudo na fórmula do divergente:
Resposta
O divergente do campo vetorial
é: