Seja um campo vetorial G dado por G=2 x z^3 imath-12 x^2 sin y jmath-(x z^3+2 z cos y) k. Calcule o divergente e o rotacional desse campo.
5. Calcule o divergente dos seguintes campos vetoriais:
(i) V(x, y, z)=2 x^2 imath+x z^2 jmath-ln z k.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é para calcular o divergente de um campo vetorial específico. A matéria envolvida é Cálculo Vetorial, mais precisamente o conceito de divergente. Para resolver isso, a gente vai precisar saber a fórmula do divergente e como aplicar as derivadas parciais nos componentes do campo vetorial.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar da fórmula do divergente. Se temos um campo vetorial V = Vx imath + Vy jmath + Vz k, o divergente é dado por:
nabla cdot V = partial Vxpartial x + partial Vypartial y + partial Vzpartial z
Ou seja, a soma das derivadas parciais de cada componente do vetor em relação à sua própria variável.

Passo 3

Agora, vamos identificar os componentes do nosso campo vetorial V(x, y, z):
Vx = 2x^2
Vy = x z^2
Vz = -ln z

Passo 4

Vamos calcular cada derivada parcial individualmente.
Primeiro, a derivada de Vx em relação a x:
partial Vxpartial x = partialpartial x (2x^2) = 4x

Passo 5

Segundo, a derivada de Vy em relação a y:
partial Vypartial y = partialpartial y (x z^2) = 0
Pois x z^2 não depende de y, então a derivada em relação a y é zero.

Passo 6

Terceiro, a derivada de Vz em relação a z:
partial Vzpartial z = partialpartial z (-ln z) = -1z
Lembrando que a derivada de ln z em relação a z é 1z, por isso temos o sinal negativo.

Passo 7

Agora, juntando tudo na fórmula do divergente:
nabla cdot V = partial Vxpartial x + partial Vypartial y + partial Vzpartial z = 4x + 0 - 1z

Resposta

O divergente do campo vetorial V(x, y, z) é:
nabla cdot V = 4x - 1z

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