Calcule o divergente das seguintes funções vetoriais:
v=y^2 i+(2 x y+z^2) j+2 y z k.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o divergente de uma função vetorial dada. Isso faz parte do conteúdo de cálculo vetorial, especificamente envolvendo operações como divergente. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é o divergente e como aplicá-lo a cada componente da função vetorial.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o divergente. O divergente de uma função vetorial v = Pi + Qj + Rk é uma operação que nos dá uma medida de quanto “fluxo” está saindo de um ponto. Matematicamente, o divergente é calculado pela soma das derivadas parciais de cada componente em relação à sua variável correspondente:
nabla cdot v = partial Ppartial x + partial Qpartial y + partial Rpartial z

Passo 3

Agora, vamos identificar cada componente da nossa função vetorial:
v = y^2 i + (2xy + z^2) j + 2yz k
Aqui, temos:
  • P = y^2
  • Q = 2xy + z^2
  • R = 2yz

Passo 4

Vamos calcular cada derivada parcial uma por uma.
Primeiro, a derivada parcial de P em relação a x:
partial Ppartial x = partialpartial x (y^2) = 0
Porque y^2 não depende de x, então a derivada é zero.

Passo 5

Segundo, a derivada parcial de Q em relação a y:
partial Qpartial y = partialpartial y (2xy + z^2) = 2x + 0 = 2x
A derivada de 2xy em relação a y é 2x, e a derivada de z^2 em relação a y é zero, já que z não depende de y.

Passo 6

Terceiro, a derivada parcial de R em relação a z:
partial Rpartial z = partialpartial z (2yz) = 2y
A derivada de 2yz em relação a z é 2y.

Passo 7

Agora, somamos todas as derivadas parciais para encontrar o divergente:
nabla cdot v = partial Ppartial x + partial Qpartial y + partial Rpartial z = 0 + 2x + 2y = 2x + 2y

Resposta

O divergente da função vetorial v é 2x + 2y.

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