Calcule o divergente das seguintes funções vetoriais:
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o divergente de uma função vetorial dada. Isso faz parte do conteúdo de cálculo vetorial, especificamente envolvendo operações como divergente. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é o divergente e como aplicá-lo a cada componente da função vetorial.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o divergente. O divergente de uma função vetorial
é uma operação que nos dá uma medida de quanto “fluxo” está saindo de um ponto. Matematicamente, o divergente é calculado pela soma das derivadas parciais de cada componente em relação à sua variável correspondente:
Passo 3
Agora, vamos identificar cada componente da nossa função vetorial:
Aqui, temos:
Passo 4
Vamos calcular cada derivada parcial uma por uma.
Primeiro, a derivada parcial de
em relação a
:
Porque
não depende de
, então a derivada é zero.
Passo 5
Segundo, a derivada parcial de
em relação a
:
A derivada de
em relação a
é
, e a derivada de
em relação a
é zero, já que
não depende de
.
Passo 6
Terceiro, a derivada parcial de
em relação a
:
A derivada de
em relação a
é
.
Passo 7
Agora, somamos todas as derivadas parciais para encontrar o divergente:
Resposta
O divergente da função vetorial
é
.