Calcule o rotacional das seguintes funções vetoriais:
vb=x j.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular o rotacional da função vetorial vb = x j.
Conteúdo da matéria: Estamos trabalhando com cálculo vetorial, especificamente com o conceito de rotacional (ou curl) de um campo vetorial.
O que vamos precisar:
  • Entender o que é o rotacional de um campo vetorial.
  • Saber aplicar a fórmula do rotacional em coordenadas cartesianas.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é o rotacional. O rotacional de um campo vetorial v = vx i + vy j + vz k é dado por:
nabla times v = ( partial vzpartial y - partial vypartial z ) i + ( partial vxpartial z - partial vzpartial x ) j + ( partial vypartial x - partial vxpartial y ) k
Isso significa que vamos calcular as derivadas parciais das componentes do vetor para encontrar o rotacional.

Passo 3

Agora, vamos identificar as componentes do nosso vetor vb = x j. Isso significa que:
  • vx = 0 (não há componente i)
  • vy = x
  • vz = 0 (não há componente k)

Passo 4

Vamos aplicar essas componentes na fórmula do rotacional:
nabla times vb = ( partial vzpartial y - partial vypartial z ) i + ( partial vxpartial z - partial vzpartial x ) j + ( partial vypartial x - partial vxpartial y ) k
Substituindo as componentes:
  • partial vzpartial y = partial 0partial y = 0
  • partial vypartial z = partial xpartial z = 0
  • partial vxpartial z = partial 0partial z = 0
  • partial vzpartial x = partial 0partial x = 0
  • partial vypartial x = partial xpartial x = 1
  • partial vxpartial y = partial 0partial y = 0

Passo 5

Substituindo esses valores na expressão do rotacional:
nabla times vb = (0 - 0) i + (0 - 0) j + (1 - 0) k = 0 i + 0 j + 1 k

Resposta

Portanto, o rotacional da função vetorial vb = x j é:
nabla times vb = k

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