Calcule o divergente tridimensional
para cada um dos seguintes vetores:
, onde
é o vetor posição usual e
é uma constante
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o divergente tridimensional do vetor
. Isso faz parte do estudo de cálculo vetorial, especificamente do conceito de divergência. Para isso, vamos precisar lembrar da fórmula que define o divergente e identificar as componentes do vetor
.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é divergente. Em cálculo vetorial, o divergente de um campo vetorial
é dado por:
Basicamente, é a soma das derivadas parciais de cada componente do vetor em relação à sua própria coordenada.
Passo 3
Agora, vamos identificar as componentes do nosso vetor
. Isso significa que:
Passo 4
Vamos calcular cada uma das derivadas parciais necessárias para o divergente.
- Para
:
Como
não depende de
,
. Então:
- Para
:
Assim como antes,
não depende de
, então
. Logo:
- Para
:
Novamente,
não depende de
, então
. Portanto:
Passo 5
Agora, vamos somar todas essas derivadas parciais para obter o divergente:
Resposta
O divergente tridimensional do vetor
é
.