Calcule o divergente tridimensional nabla cdot v para cada um dos seguintes vetores:
v =k(z, x, y), onde r=(x, y, z) é o vetor posição usual e k é uma constante

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o divergente tridimensional do vetor v = k(z, x, y). Isso faz parte do estudo de cálculo vetorial, especificamente do conceito de divergência. Para isso, vamos precisar lembrar da fórmula que define o divergente e identificar as componentes do vetor v.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é divergente. Em cálculo vetorial, o divergente de um campo vetorial v = (vx, vy, vz) é dado por:
nabla cdot v = partial vxpartial x + partial vypartial y + partial vzpartial z
Basicamente, é a soma das derivadas parciais de cada componente do vetor em relação à sua própria coordenada.

Passo 3

Agora, vamos identificar as componentes do nosso vetor v = k(z, x, y). Isso significa que:
  • vx = k cdot z
  • vy = k cdot x
  • vz = k cdot y

Passo 4

Vamos calcular cada uma das derivadas parciais necessárias para o divergente.
  1. Para partial vxpartial x:
partial (kz)partial x = k cdot partial zpartial x
Como z não depende de x, partial zpartial x = 0. Então:
partial vxpartial x = 0
  1. Para partial vypartial y:
partial (kx)partial y = k cdot partial xpartial y
Assim como antes, x não depende de y, então partial xpartial y = 0. Logo:
partial vypartial y = 0
  1. Para partial vzpartial z:
partial (ky)partial z = k cdot partial ypartial z
Novamente, y não depende de z, então partial ypartial z = 0. Portanto:
partial vzpartial z = 0

Passo 5

Agora, vamos somar todas essas derivadas parciais para obter o divergente:
nabla cdot v = partial vxpartial x + partial vypartial y + partial vzpartial z = 0 + 0 + 0 = 0

Resposta

O divergente tridimensional do vetor v = k(z, x, y) é nabla cdot v = 0.

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