Estabeleça a Hamiltoniana e as equações de Hamilton para um projétil de massa
, movendo-se em um plano vertical e sujeito a gravidade, mas sem considerar a resistência doar. Use as coordenadas generalizadas
, medindo horizontalmente, e
, medindo verticalmente para cima. Comente cada uma das quatro equações de movimento.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente estabelecer a Hamiltoniana e as equações de Hamilton para um projétil com massa
que se move em um plano vertical, sob a ação da gravidade, sem considerar a resistência do ar. As coordenadas que vamos usar são
(horizontal) e
(vertical para cima). Para resolver isso, vamos precisar entender o que é a Hamiltoniana, o que são as equações de Hamilton e como aplicá-las nesse contexto.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a Hamiltoniana (
) é uma função que representa a energia total do sistema, ou seja, a soma da energia cinética (
) e da energia potencial (
). Matematicamente, temos:
No nosso caso, precisamos expressar
e
em termos das velocidades e das posições
e
.
Passo 3
Vamos calcular a energia cinética (
). Para um projétil em movimento, ela é dada por:
Aqui,
e
representam as velocidades nas direções
e
, respectivamente.
Passo 4
Agora, a energia potencial (
) está relacionada à posição vertical devido à gravidade. É dada por:
Onde
é a aceleração da gravidade e
é a altura.
Passo 5
Com as expressões de
e
, podemos escrever a Hamiltoniana:
Passo 6
As equações de Hamilton relacionam as derivadas da Hamiltoniana com as coordenadas generalizadas e seus momentos conjugados. As equações são:
Onde
representa as coordenadas generalizadas (
e
) e
são os momentos conjugados correspondentes.
Passo 7
Precisamos determinar os momentos conjugados (
e
). Eles são definidos como:
Onde
é a Lagrangiana do sistema.
Passo 8
Agora, reescrevemos a Hamiltoniana em termos de
e
:
Passo 9
Aplicando as equações de Hamilton:
Para
:
Para
:
Para
:
Para
:
Passo 10
Vamos interpretar cada uma dessas quatro equações:
-
: Mostra que a velocidade na direção está relacionada diretamente com o momento . -
: Indica que não há forças atuando na direção horizontal, pois o momento é constante. -
: Similar à primeira equação, relaciona a velocidade na direção com o momento . -
: Representa a força gravitacional atuando na direção vertical, causando uma mudança no momento .
Resposta
A Hamiltoniana do projétil é:
As equações de Hamilton são:
Cada uma dessas equações descreve como as coordenadas e os momentos conjugados evoluem no tempo, considerando a ausência de forças horizontais e a presença da gravidade na direção vertical.