Estabeleça a Hamiltoniana e as equações de Hamilton para um projétil de massa m, movendo-se em um plano vertical e sujeito a gravidade, mas sem considerar a resistência doar. Use as coordenadas generalizadas x, medindo horizontalmente, e y, medindo verticalmente para cima. Comente cada uma das quatro equações de movimento.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente estabelecer a Hamiltoniana e as equações de Hamilton para um projétil com massa m que se move em um plano vertical, sob a ação da gravidade, sem considerar a resistência do ar. As coordenadas que vamos usar são x (horizontal) e y (vertical para cima). Para resolver isso, vamos precisar entender o que é a Hamiltoniana, o que são as equações de Hamilton e como aplicá-las nesse contexto.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a Hamiltoniana ( H) é uma função que representa a energia total do sistema, ou seja, a soma da energia cinética ( T) e da energia potencial ( V). Matematicamente, temos:
H = T + V
No nosso caso, precisamos expressar T e V em termos das velocidades e das posições x e y.

Passo 3

Vamos calcular a energia cinética ( T). Para um projétil em movimento, ela é dada por:
T = 12m(dotx^2 + doty^2)
Aqui, dotx e doty representam as velocidades nas direções x e y, respectivamente.

Passo 4

Agora, a energia potencial ( V) está relacionada à posição vertical devido à gravidade. É dada por:
V = mgy
Onde g é a aceleração da gravidade e y é a altura.

Passo 5

Com as expressões de T e V, podemos escrever a Hamiltoniana:
H = T + V = 12m(dotx^2 + doty^2) + mgy

Passo 6

As equações de Hamilton relacionam as derivadas da Hamiltoniana com as coordenadas generalizadas e seus momentos conjugados. As equações são:
dotqi = partial Hpartial pi
dotpi = -partial Hpartial qi
Onde qi representa as coordenadas generalizadas ( x e y) e pi são os momentos conjugados correspondentes.

Passo 7

Precisamos determinar os momentos conjugados ( px e py). Eles são definidos como:
px = partial Lpartial dotx = mdotx
py = partial Lpartial doty = mdoty
Onde L é a Lagrangiana do sistema.

Passo 8

Agora, reescrevemos a Hamiltoniana em termos de px e py:
H = px^22m + py^22m + mgy

Passo 9

Aplicando as equações de Hamilton:
Para x:
dotx = partial Hpartial px = pxm
Para px:
dotpx = -partial Hpartial x = 0
Para y:
doty = partial Hpartial py = pym
Para py:
dotpy = -partial Hpartial y = -mg

Passo 10

Vamos interpretar cada uma dessas quatro equações:
  1. dotx = pxm: Mostra que a velocidade na direção x está relacionada diretamente com o momento px.
  2. dotpx = 0: Indica que não há forças atuando na direção horizontal, pois o momento px é constante.
  3. doty = pym: Similar à primeira equação, relaciona a velocidade na direção y com o momento py.
  4. dotpy = -mg: Representa a força gravitacional atuando na direção vertical, causando uma mudança no momento py.

Resposta

A Hamiltoniana do projétil é:
H = px^22m + py^22m + mgy
As equações de Hamilton são:
  1. dotx = pxm
  2. dotpx = 0
  3. doty = pym
  4. dotpy = -mg
Cada uma dessas equações descreve como as coordenadas e os momentos conjugados evoluem no tempo, considerando a ausência de forças horizontais e a presença da gravidade na direção vertical.

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