Calcule o divergente tridimensional nabla cdot v para cada um dos seguintes vetores:
v=k(x, y,-2 z), onde r=(x, y, z) é o vetor posição usual e k é uma constante

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos calcular o divergente tridimensional, representado por nabla cdot v, para o vetor dado v=k(x, y,-2 z). Para resolver isso, vamos utilizar o conceito de divergente em cálculo vetorial, que envolve derivadas parciais das componentes do vetor.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula para calcular o divergente de um vetor tridimensional v = (vx, vy, vz). A fórmula é:
nabla cdot v = partial vxpartial x + partial vypartial y + partial vzpartial z
Isso significa que precisamos calcular a derivada parcial de cada componente do vetor em relação à sua respectiva variável.

Passo 3

Vamos identificar as componentes do vetor v. Temos:
vx = kx vy = ky vz = -2kz
Aqui, k é uma constante e (x, y, z) são as coordenadas espaciais.

Passo 4

Agora, vamos calcular cada derivada parcial:
  1. Para vx = kx, a derivada parcial em relação a x é:
partial vxpartial x = partialpartial x (kx) = k
  1. Para vy = ky, a derivada parcial em relação a y é:
partial vypartial y = partialpartial y (ky) = k
  1. Para vz = -2kz, a derivada parcial em relação a z é:
partial vzpartial z = partialpartial z (-2kz) = -2k

Passo 5

Agora, vamos somar as derivadas parciais que encontramos:
nabla cdot v = k + k + (-2k) = 0

Resposta

O divergente tridimensional de v=k(x, y,-2 z) é igual a zero.

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