Calcule os dois limites a seguir:
\begin{aligned} & \lim _{x \rightarrow 3}\left(x^{2}-14 x+23\right) \\ & \lim _{x \rightarrow-4} \frac{2 x^{3}+12 x^{2}-2 x}{3-x} \end{aligned}

Passo 1

O enunciado pede dois limites. As expressões dadas são:
  • Calcular \displaystyle \lim_{x\to 3}\left(x^{2}-14x+23\right).
  • Calcular \displaystyle \lim_{x\to -4}\frac{2x^{3}+12x^{2}-2x}{3-x}.
Informações relevantes que temos:
  • As duas funções escritas são polinômios ou quocientes de polinômios (racionais).
  • O ponto de interesse para cada limite é x=3 no primeiro caso e x=-4 no segundo caso.

Passo 2

Conceito e regra prática que vou usar (explicando devagar):
  • Um limite \displaystyle \lim_{x\to a} f(x) é o valor que f(x) se aproxima quando x se aproxima de a.
  • Se f for contínua em a, então \displaystyle \lim_{x\to a} f(x)=f(a). Polinômios são contínuos em todo ponto. Uma função racional \dfrac{p(x)}{q(x)} é contínua em a sempre que q(a)\neq 0.
  • Portanto, para polinômios podemos simplesmente substituir x=a. Para racionais, primeiro verificamos se o denominador anula em a; se não anula, também substituímos diretamente. Se anulasse, teríamos que tentar fatorar, simplificar ou usar outros métodos (por exemplo, L’Hôpital), mas aqui vamos verificar passo a passo.

Passo 3

Cálculo do primeiro limite. Como x^{2}-14x+23 é um polinômio (contínuo em todo lugar), vale substituir x=3:
\begin{aligned} &\text{Calcular }(3)^{2}-14\cdot(3)+23,\\[4pt] &(3)^{2}=9,\\[4pt] &14\cdot 3=42,\\[4pt] &9-42+23 = (9-42)+23 = -33+23 = -10. \end{aligned}
Portanto \displaystyle \lim_{x\to 3}\left(x^{2}-14x+23\right)=-10.]

Passo 4

Cálculo do segundo limite. Primeiro verifico o denominador em x=-4:
3-(-4)=3+4=7\neq 0.
Como o denominador não é zero, a função racional é contínua em x=-4 e posso substituir diretamente. Vou calcular o numerador em x=-4 passo a passo:
\begin{aligned} &x^3 = (-4)^3 = -64,\\[4pt] &x^2 = (-4)^2 = 16,\\[4pt] &2x^3 = 2\cdot(-64) = -128,\\[4pt] &12x^2 = 12\cdot 16 = 192,\\[4pt] &-2x = -2\cdot(-4) = 8. \end{aligned}
Somando os termos do numerador:
-128 + 192 + 8 = (-128+192)+8 = 64+8 = 72.
Então o quociente vale
\frac{72}{3-(-4)} = \frac{72}{7}.
Portanto \displaystyle \lim_{x\to -4}\frac{2x^{3}+12x^{2}-2x}{3-x}=\frac{72}{7}.]

Passo 5

Comentário rápido de revisão e dica para a prova (sem complicar):
  • Sempre que enfrentar limite de polinômio: substitui direto.
  • Para razão de polinômios: primeiro verifica se o denominador zera no ponto. Se não zerar, substitui direto. Se zerar, tenta fatorar e simplificar ou usar L’Hôpital se apropriado.
  • Aqui não houve sobra de indeterminação, então substituição simples resolveu ambos os limites.

Resposta

-10
\dfrac{72}{7}

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