Calcule os dois limites a seguir:
Passo 1
O enunciado pede dois limites. As expressões dadas são:
- Calcular
. - Calcular
.
Informações relevantes que temos:
- As duas funções escritas são polinômios ou quocientes de polinômios (racionais).
- O ponto de interesse para cada limite é
no primeiro caso e no segundo caso.
Passo 2
Conceito e regra prática que vou usar (explicando devagar):
- Um limite
é o valor que se aproxima quando se aproxima de . - Se
for contínua em , então . Polinômios são contínuos em todo ponto. Uma função racional é contínua em sempre que . - Portanto, para polinômios podemos simplesmente substituir
. Para racionais, primeiro verificamos se o denominador anula em ; se não anula, também substituímos diretamente. Se anulasse, teríamos que tentar fatorar, simplificar ou usar outros métodos (por exemplo, L’Hôpital), mas aqui vamos verificar passo a passo.
Passo 3
Cálculo do primeiro limite. Como
é um polinômio (contínuo em todo lugar), vale substituir
:
Portanto
.]
Passo 4
Cálculo do segundo limite. Primeiro verifico o denominador em
:
Como o denominador não é zero, a função racional é contínua em
e posso substituir diretamente. Vou calcular o numerador em
passo a passo:
Somando os termos do numerador:
Então o quociente vale
Portanto
.]
Passo 5
Comentário rápido de revisão e dica para a prova (sem complicar):
- Sempre que enfrentar limite de polinômio: substitui direto.
- Para razão de polinômios: primeiro verifica se o denominador zera no ponto. Se não zerar, substitui direto. Se zerar, tenta fatorar e simplificar ou usar L’Hôpital se apropriado.
- Aqui não houve sobra de indeterminação, então substituição simples resolveu ambos os limites.