Calcule:
Passo 1
O enunciado pede para calcular o seguinte limite quando
tende a infinito:
Informações dadas:
- A expressão é uma razão de polinômios em
. - Queremos o comportamento quando
cresce sem limite ( ).
Não vou resolver ainda; apenas identifiquei o que é pedido e os dados fornecidos.
Passo 2
Ideia que vou usar (explicação didática, passo a passo): quando
é muito grande, os termos de maior grau no numerador e no denominador dominam o valor da função. Para formalizar isso, uma técnica padrão é dividir numerador e denominador pela maior potência de
que aparece — aqui é
. Isso reduz a expressão a termos que tendem a constantes ou a zero, o que facilita calcular o limite. Essa técnica é segura porque dividir por
(para
) não muda a razão e permite aplicar as regras de limite.
Passo 3
Aplicando a divisão por
em numerador e denominador:
Expliquei cada passo:
- Fatorei
em numerador e denominador. - Cancelei o fator comum
(válido para ; o limite se refere a então isso é ok). - Agora a expressão está escrita em termos de
, que tende a zero quando .
Passo 4
Avaliação dos limites das partes pequenas: como
temos
Pela regra do quociente de limites (quando o limite do denominador é diferente de zero), podemos passar ao limite na expressão obtida:
Como
, isto dá
Aqui usei que o limite da soma é a soma dos limites e o limite da diferença é a diferença dos limites (regras básicas de limite).
Passo 5
Simplificação final da fração:
Portanto o limite existe e é
.
Passo 6
Comentário didático final (para você lembrar na prova): para uma função racional
com
polinômios, se
então
Exemplos rápidos:
-
. -
(grau do numerador menor que do denominador). -
(grau do numerador maior que do denominador).
Isso é uma forma rápida de resolver problemas parecidos na prova sem fazer toda a divisão.