Calcule:
\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{6 x^{2}+1}{8 x^{2}-10}

Passo 1

O enunciado pede para calcular o seguinte limite quando x tende a infinito:
\lim_{x \rightarrow \infty} \frac{6 x^{2}+1}{8 x^{2}-10}.
Informações dadas:
  • A expressão é uma razão de polinômios em x.
  • Queremos o comportamento quando x cresce sem limite ( x\to\infty).
    Não vou resolver ainda; apenas identifiquei o que é pedido e os dados fornecidos.

Passo 2

Ideia que vou usar (explicação didática, passo a passo): quando x é muito grande, os termos de maior grau no numerador e no denominador dominam o valor da função. Para formalizar isso, uma técnica padrão é dividir numerador e denominador pela maior potência de x que aparece — aqui é x^{2}. Isso reduz a expressão a termos que tendem a constantes ou a zero, o que facilita calcular o limite. Essa técnica é segura porque dividir por x^{2} (para x\neq0) não muda a razão e permite aplicar as regras de limite.

Passo 3

Aplicando a divisão por x^{2} em numerador e denominador:
\frac{6 x^{2}+1}{8 x^{2}-10} = \frac{x^{2}\left(6+\dfrac{1}{x^{2}}\right)}{x^{2}\left(8-\dfrac{10}{x^{2}}\right)} = \frac{6+\dfrac{1}{x^{2}}}{8-\dfrac{10}{x^{2}}}.
Expliquei cada passo:
  • Fatorei x^{2} em numerador e denominador.
  • Cancelei o fator comum x^{2} (válido para x\neq0; o limite se refere a x\to\infty então isso é ok).
  • Agora a expressão está escrita em termos de \dfrac{1}{x^{2}}, que tende a zero quando x\to\infty.

Passo 4

Avaliação dos limites das partes pequenas: como x\to\infty temos
\frac{1}{x^{2}}\longrightarrow 0.
Pela regra do quociente de limites (quando o limite do denominador é diferente de zero), podemos passar ao limite na expressão obtida:
\lim_{x\to\infty}\frac{6+\dfrac{1}{x^{2}}}{8-\dfrac{10}{x^{2}}} = \frac{\lim_{x\to\infty}\left(6+\dfrac{1}{x^{2}}\right)}{\lim_{x\to\infty}\left(8-\dfrac{10}{x^{2}}\right)}.
Como \lim_{x\to\infty}\dfrac{1}{x^{2}}=0, isto dá
\frac{6+0}{8-0}=\frac{6}{8}.
Aqui usei que o limite da soma é a soma dos limites e o limite da diferença é a diferença dos limites (regras básicas de limite).

Passo 5

Simplificação final da fração:
\frac{6}{8}=\frac{3}{4}.
Portanto o limite existe e é \dfrac{3}{4}.

Passo 6

Comentário didático final (para você lembrar na prova): para uma função racional \dfrac{P(x)}{Q(x)} com P,Q polinômios, se \deg P=\deg Q então
\lim_{x\to\infty}\frac{P(x)}{Q(x)}=\frac{\text{coeficiente líder de }P}{\text{coeficiente líder de }Q}.íí
Exemplos rápidos:
  • \lim_{x\to\infty}\dfrac{3x^{3}+1}{5x^{3}-2}=\dfrac{3}{5}.
  • \lim_{x\to\infty}\dfrac{x}{x^{2}}=0 (grau do numerador menor que do denominador).
  • \lim_{x\to\infty}\dfrac{x^{3}}{x^{2}}=+\infty (grau do numerador maior que do denominador).
    Isso é uma forma rápida de resolver problemas parecidos na prova sem fazer toda a divisão.

Resposta

\dfrac{3}{4}

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