Calcule:
\lim _{x \rightarrow 0}\left(\frac{1}{x \sqrt{x+1}}-x^{-1}\right)

Passo 1

O enunciado pede que se calcule o seguinte limite quando x tende a 0:
\lim_{x\to 0}\left(\frac{1}{x\sqrt{x+1}}-x^{-1}\right).
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • A expressão envolve x, \sqrt{x+1} e potências negativas de x.
  • A raiz \sqrt{x+1} exige x>-1 para estar real.
  • O termo x^{-1} exige x\neq 0. Portanto a expressão está bem definida em um punctured neighborhood de 0 (por exemplo para x em (-1,0)\cup(0,\infty)).
  • O objetivo é encontrar o valor do limite quando x se aproxima de 0 (pela direita e pela esquerda), se esse limite existir.

Passo 2

Vamos escrever a expressão com um denominador comum para juntar os termos. A expressão é
\frac{1}{x\sqrt{x+1}}-x^{-1}.
Colocando com denominador comum x\sqrt{x+1} obtemos
\frac{1}{x\sqrt{x+1}}-x^{-1}=\frac{1}{x\sqrt{x+1}}-\frac{\sqrt{x+1}}{x\sqrt{x+1}}=\frac{1-\sqrt{x+1}}{x\sqrt{x+1}}.
Comentário didático: para somar/subtrair frações é sempre útil igualar os denominadores; aqui escrevemos x^{-1}=\dfrac{\sqrt{x+1}}{x\sqrt{x+1}} para obter um único quociente.

Passo 3

Agora temos a forma
\frac{1-\sqrt{x+1}}{x\sqrt{x+1}}.
Observe o numerador 1-\sqrt{x+1}. Uma técnica clássica para tratar diferenças com raiz é multiplicar numerador e denominador pelo conjugado 1+\sqrt{x+1}, porque isso transforma a diferença de radicais em diferença de quadrados, eliminando a raiz no numerador.

Passo 4

Multiplicamos numerador e denominador por 1+\sqrt{x+1}:
\frac{1-\sqrt{x+1}}{x\sqrt{x+1}}\cdot\frac{1+\sqrt{x+1}}{1+\sqrt{x+1}} =\frac{(1-\sqrt{x+1})(1+\sqrt{x+1})}{x\sqrt{x+1}\,(1+\sqrt{x+1})}.
Usando a identidade (a-b)(a+b)=a^2-b^2 com a=1 e b=\sqrt{x+1}, o numerador vira
(1-\sqrt{x+1})(1+\sqrt{x+1})=1-(\sqrt{x+1})^2=1-(x+1)=-x.
Portanto a expressão simplifica para
\frac{-x}{x\sqrt{x+1}\,(1+\sqrt{x+1})}.

Passo 5

Agora cancelamos o fator x no numerador e no denominador. Isso é permitido porque estamos considerando x em uma vizinhança de 0 excluindo 0 (a expressão original não é definida em x=0), então para o propósito do limite podemos simplificar:
\frac{-x}{x\sqrt{x+1}\,(1+\sqrt{x+1})}=\frac{-1}{\sqrt{x+1}\,(1+\sqrt{x+1})}.
Comentário didático: cancelar fatores que são não nulos em uma vizinhança é uma operação legítima ao calcular limites — o comportamento da função para x próximo de 0 (mas não igual a 0) é preservado.

Passo 6

Agora o limite é direto, basta avaliar a expressão simplificada quando x\to 0:
\lim_{x\to 0}\frac{-1}{\sqrt{x+1}\,(1+\sqrt{x+1})} =\frac{-1}{\sqrt{0+1}\,\bigl(1+\sqrt{0+1}\bigr)} =\frac{-1}{1\cdot(1+1)}=\frac{-1}{2}.
Explicação final: após remover a indeterminação inicial, obtemos uma função contínua em x=0, então só precisamos substituir x=0.

Resposta

-\dfrac{1}{2}

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