Calcule:
Passo 1
O enunciado pede que se calcule o seguinte limite quando
tende a
:
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
- A expressão envolve
, e potências negativas de . - A raiz
exige para estar real. - O termo
exige . Portanto a expressão está bem definida em um punctured neighborhood de (por exemplo para em ). - O objetivo é encontrar o valor do limite quando
se aproxima de (pela direita e pela esquerda), se esse limite existir.
Passo 2
Vamos escrever a expressão com um denominador comum para juntar os termos. A expressão é
Colocando com denominador comum
obtemos
Comentário didático: para somar/subtrair frações é sempre útil igualar os denominadores; aqui escrevemos
para obter um único quociente.
Passo 3
Agora temos a forma
Observe o numerador
. Uma técnica clássica para tratar diferenças com raiz é multiplicar numerador e denominador pelo conjugado
, porque isso transforma a diferença de radicais em diferença de quadrados, eliminando a raiz no numerador.
Passo 4
Multiplicamos numerador e denominador por
:
Usando a identidade
com
e
, o numerador vira
Portanto a expressão simplifica para
Passo 5
Agora cancelamos o fator
no numerador e no denominador. Isso é permitido porque estamos considerando
em uma vizinhança de
excluindo
(a expressão original não é definida em
), então para o propósito do limite podemos simplificar:
Comentário didático: cancelar fatores que são não nulos em uma vizinhança é uma operação legítima ao calcular limites — o comportamento da função para
próximo de
(mas não igual a
) é preservado.
Passo 6
Agora o limite é direto, basta avaliar a expressão simplificada quando
:
Explicação final: após remover a indeterminação inicial, obtemos uma função contínua em
, então só precisamos substituir
.