Calcule o domínio das funções e calcule
para os valores dados.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede duas coisas:
- Calcular o domínio de
(ou seja, todos os pares para os quais está bem definida como função real). - Calcular
no ponto .
Informações relevantes fornecidas:
- A expressão envolve uma raiz quadrada
. - Os números
e são variáveis reais (assumimos ). - O ponto a avaliar é
.
Passo 2
Regra importante sobre raiz quadrada em funções reais: para que
esteja definida como número real, o radicando
deve ser maior ou igual a zero:
No nosso caso o radicando é
. Logo a condição para o domínio é
Isso vem do fato de que a raiz quadrada de um número negativo não é um número real (a menos que estejamos trabalhando com números complexos, o que aqui não é o caso).
Passo 3
Resolver a desigualdade encontrada:
é equivalente a
Geometricamente, isso significa todos os pontos
cujo quadrado das coordenadas soma no máximo 1 — ou seja, o disco fechado de raio
centrado na origem no plano
.
Portanto o domínio é
Passo 4
Verificação de outras possíveis restrições: o fator
multiplicando a raiz não impõe restrição adicional (multiplicar por
é sempre definido). Logo a única restrição do domínio é a do radicando já tratada no passo anterior.
Passo 5
Agora vamos avaliar
em
. Primeiro verifico que o ponto pertence ao domínio calculando
:
Então
Como
, o ponto está no domínio, portanto a avaliação é válida.
Passo 6
Calcular o radicando e a raiz:
Então
Simplificando a raiz:
Multiplicando numerador e denominador por
para racionalizar a raiz no denominador:
Passo 7
Agora multiplico pelo fator
:
Opcional: em aproximação decimal,
(isso só para intuir o tamanho; a resposta exata é a fração com raiz).