Calcule o domínio das funções e calcule f(x, y) para os valores dados.
f(x, y)=x \sqrt{1-x^{2}-y^{2}} ; x=y=\frac{1}{4}

Passo 1

O enunciado dá a função f(x,y)=x\sqrt{1-x^{2}-y^{2}} e pede duas coisas:
  • Calcular o domínio de f (ou seja, todos os pares (x,y) para os quais f está bem definida como função real).
  • Calcular f(x,y) no ponto x=y=\dfrac{1}{4}.
Informações relevantes fornecidas:
  • A expressão envolve uma raiz quadrada \sqrt{\,\cdot\,}.
  • Os números x e y são variáveis reais (assumimos x,y\in\mathbb{R}).
  • O ponto a avaliar é \left(\dfrac{1}{4},\dfrac{1}{4}\right).

Passo 2

Regra importante sobre raiz quadrada em funções reais: para que \sqrt{g(x,y)} esteja definida como número real, o radicando g(x,y) deve ser maior ou igual a zero:
g(x,y)\ge 0.
No nosso caso o radicando é 1-x^{2}-y^{2}. Logo a condição para o domínio é
1-x^{2}-y^{2}\ge 0.
Isso vem do fato de que a raiz quadrada de um número negativo não é um número real (a menos que estejamos trabalhando com números complexos, o que aqui não é o caso).

Passo 3

Resolver a desigualdade encontrada:
1-x^{2}-y^{2}\ge 0
é equivalente a
x^{2}+y^{2}\le 1.
Geometricamente, isso significa todos os pontos (x,y) cujo quadrado das coordenadas soma no máximo 1 — ou seja, o disco fechado de raio 1 centrado na origem no plano \mathbb{R}^2.
Portanto o domínio é
\{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}\mid x^{2}+y^{2}\le 1\}.

Passo 4

Verificação de outras possíveis restrições: o fator x multiplicando a raiz não impõe restrição adicional (multiplicar por x\in\mathbb{R} é sempre definido). Logo a única restrição do domínio é a do radicando já tratada no passo anterior.

Passo 5

Agora vamos avaliar f em x=y=\dfrac{1}{4}. Primeiro verifico que o ponto pertence ao domínio calculando x^{2}+y^{2}:
x^{2}=\left(\dfrac{1}{4}\right)^{2}=\dfrac{1}{16},\qquad y^{2}=\left(\dfrac{1}{4}\right)^{2}=\dfrac{1}{16}.
Então
x^{2}+y^{2}=\dfrac{1}{16}+\dfrac{1}{16}=\dfrac{2}{16}=\dfrac{1}{8}.
Como \dfrac{1}{8}\le 1, o ponto está no domínio, portanto a avaliação é válida.

Passo 6

Calcular o radicando e a raiz:
1-x^{2}-y^{2}=1-\dfrac{1}{8}=\dfrac{8}{8}-\dfrac{1}{8}=\dfrac{7}{8}.
Então
\sqrt{1-x^{2}-y^{2}}=\sqrt{\dfrac{7}{8}}.
Simplificando a raiz:
\sqrt{\dfrac{7}{8}}=\dfrac{\sqrt{7}}{\sqrt{8}}=\dfrac{\sqrt{7}}{2\sqrt{2}}.
Multiplicando numerador e denominador por \sqrt{2} para racionalizar a raiz no denominador:
\dfrac{\sqrt{7}}{2\sqrt{2}}=\dfrac{\sqrt{14}}{4}.

Passo 7

Agora multiplico pelo fator x=\dfrac{1}{4}:
f\!\left(\dfrac{1}{4},\dfrac{1}{4}\right) =\dfrac{1}{4}\cdot\sqrt{\dfrac{7}{8}} =\dfrac{1}{4}\cdot\dfrac{\sqrt{14}}{4} =\dfrac{\sqrt{14}}{16}.
Opcional: em aproximação decimal, \dfrac{\sqrt{14}}{16}\approx 0,0233 (isso só para intuir o tamanho; a resposta exata é a fração com raiz).

Resposta

\{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}\mid x^{2}+y^{2}\le 1\}
\dfrac{\sqrt{14}}{16}

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