Calcule cada expressão, usando as funções f e h definidas por:
f(x, y)=5 x^{2}+7 x y \quad h(x, y)=\frac{2 x y}{x^{2}+y^{2}}
f(\sqrt{2}, 6)

Passo 1

O enunciado dá as funções
f(x,y)=5x^{2}+7xy,\qquad h(x,y)=\frac{2xy}{x^{2}+y^{2}}
e pede para calcular f(\sqrt{2},6).
Informações relevantes que temos:
  • A função f é uma função de duas variáveis; para avaliá‑la basta substituir x e y pelos valores dados.
  • Os valores fornecidos são x=\sqrt{2} e y=6.

Passo 2

Regra para avaliar uma função de duas variáveis: para obter f(a,b) substitui‑se x=a e y=b na expressão de f. Aplicando isso:
f(\sqrt{2},6)=5\bigl(\sqrt{2}\bigr)^{2}+7\bigl(\sqrt{2}\bigr)\cdot 6.
Aqui cada símbolo significa:
  • \sqrt{2} é o valor de x que foi dado;
  • 6 é o valor de y;
  • os produtos e potências são avaliados de acordo com a ordem das operações (potência antes de multiplicação).

Passo 3

Calcular a primeira parcela 5\bigl(\sqrt{2}\bigr)^{2}. Lembre que \bigl(\sqrt{2}\bigr)^{2}=2 (porque a raiz quadrada e a potência são operações inversas). Logo:
5\bigl(\sqrt{2}\bigr)^{2}=5\cdot 2=10.

Passo 4

Calcular a segunda parcela 7\bigl(\sqrt{2}\bigr)\cdot 6. Podemos agrupar os números escalares primeiro:
7\bigl(\sqrt{2}\bigr)\cdot 6=(7\cdot 6)\sqrt{2}=42\sqrt{2}.
Explicando: multiplicação por uma raiz segue a propriedade distributiva dos escalares; aqui fica simplesmente um coeficiente 42 multiplicando \sqrt{2}.

Passo 5

Somar as duas parcelas obtidas para ter o valor final exato:
f(\sqrt{2},6)=10+42\sqrt{2}.
Se quiser uma aproximação numérica, usando \sqrt{2}\approx 1{,}414213562, tem
f(\sqrt{2},6)\approx 69{,}397.

Resposta

10+42\sqrt{2}

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