Calcule o domínio das funções:
f(x)=3 x|x^2-4 x-5|-7

Passo 1

O enunciado pede o domínio da função
f(x)=3xl|x^2-4x-5r|-7
O conteúdo aqui é determinar para quais xinR o denominador não se anula (já que o valor absoluto está definido em todo R).

Passo 2

Impondo que o denominador seja diferente de zero, temos a condição
l|x^2-4x-5r|-7 neq 0
que equivale a
l|x^2-4x-5r|neq 7

Passo 3

Para encontrar os x que tornam l|x^2-4x-5r|=7 (e, portanto, que devem ser excluídos do domínio), separamos em dois casos:
  1. x^2-4x-5=7
  2. x^2-4x-5=-7

Passo 4

Caso 1:
x^2-4x-5=7
x^2-4x-12=0
As raízes dessa equação são
x=4pmraiz16+482=4pm82,
ou seja,
x=6e x=-2

Passo 5

Caso 2:
x^2-4x-5=-7
x^2-4x+2=0
As raízes são
x=4pmraiz16-82=4pm2raiz22,
logo
x=2+raiz2 e x=2-raiz2

Passo 6

Concluímos que o denominador se anula exatamente em
xin-2,;6,;2-raiz2,;2+raiz2,
e esses valores devem ser excluídos do domínio.

Passo 7

Em notação de intervalos, o domínio fica
(-infty,-2),cup,(-2,,2-raiz2),cup,(2-raiz2,,2+raiz2),cup,(2+raiz2,,6),cup,(6,infty)

Resposta

Dom(f)=Rsetminus-2,;6,;2-raiz2,;2+raiz2

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