Calcule domínio, imagem, período, estude os sinais, e esboce o gráfico das funções abaixo:
f(x)=|\cos (x)|

Passo 1

O enunciado dá a função f(x)=|\cos(x)| e pede:
  • Domínio;
  • Imagem (contradomínio efetivo);
  • Período (período fundamental);
  • Estudo dos sinais (onde é zero, onde é positiva);
  • Esboço do gráfico (forma e pontos-chave).
Informação disponível: a expressão explícita f(x)=|\cos(x)|. Não há outras condições adicionais.

Passo 2

Domínio — o que isso significa e como achar:
  • Domínio é o conjunto de todos os x para os quais a expressão da função está definida.
  • A função \cos(x) está definida para todo x\in\mathbb{R}.
  • A operação de valor absoluto |\cdot| também não restringe o argumento (aplica-se a qualquer número real).
    Logo, o domínio é
\text{Dom}(f)=\mathbb{R}.

Passo 3

Imagem — entendimento e cálculo:
  • Sabendo que para todo x vale -1\le \cos(x)\le 1.
  • Aplicando o valor absoluto, os possíveis valores tornam-se 0\le |\cos(x)|\le 1.
  • Além disso, existem x tais que |\cos(x)|=0 (por exemplo x=\tfrac{\pi}{2}) e x tais que |\cos(x)|=1 (por exemplo x=0).
    Portanto a imagem é
\text{Im}(f)=[0,1].

Passo 4

Período — definição e demonstração do período fundamental:
  • Definição: T>0 é período de f se f(x+T)=f(x) para todo x.
  • Sabemos que \cos(x+ \pi) = -\cos x. Aplicando módulo,
|\cos(x+\pi)| = |-\cos x| = |\cos x|,
logo \pi é um período de f.
  • Para achar o menor período positivo, suponha T>0 com f(x+T)=f(x) para todo x. Tome x=0:
|\cos T| = |\cos 0| = 1 \quad\Rightarrow\quad |\cos T|=1.
Isso implica \cos T=\pm 1, ou seja T=k\pi para algum inteiro k. O menor T>0 obtido é T=\pi (para k=1). Portanto o período fundamental é
T=\pi.

Passo 5

Simetrias e continuidade (úteis para o esboço):
  • Paridade: \cos(-x)=\cos x então
f(-x)=|\cos(-x)|=|\cos x|=f(x),
portanto f é uma função par (simetria em relação ao eixo y).
  • Continuidade: \cos x é contínua e o valor absoluto preserva continuidade, logo f é contínua em todo \mathbb{R}.
  • Diferenciabilidade: onde \cos x\neq 0, a função é diferenciável e a derivada pode ser obtida por partes. Nos pontos onde \cos x=0 (veremos quais são), f geralmente não é diferenciável (há mudança de sinal na expressão interna do módulo).

Passo 6

Expressão por partes e derivada (ajuda a estudar crescimento/decrescimento):
  • Em intervalos onde \cos x\ge 0\) vale \(f(x)=\cos x\). - Em intervalos onde \(\cos x\le 0\) vale \(f(x)=-\cos x\). Logo a derivada (quando existe) é \[f'(x)=\begin{cases} -\sin x, & \text{se }\cos x>0,\\[4pt] \sin x, & \text{se }\cos x<0. \end{cases}
Nos pontos em que (\cos x=0] a derivada à esquerda e à direita costumam ser de sinais opostos, indicando não diferenciabilidade nesses pontos.]

Passo 7

Estudo dos sinais (onde é zero / positiva):
  • f(x)\ge 0 para todo x por definição de módulo.
  • Zeros: |\cos x|=0 quando \cos x=0. Soluções:
x=\frac{\pi}{2}+k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}.
  • Positividade: f(x)>0 para todo x que não seja dessas formas. Em termos de intervalos, em cada período [k\pi,(k+1)\pi] tem:
    • f>0 em \big(k\pi,\;k\pi+\tfrac{\pi}{2}\big)\cup\big(k\pi+\tfrac{\pi}{2},\;(k+1)\pi\big) e f=0 exatamente em x=k\pi+\tfrac{\pi}{2}.

Passo 8

Comportamento em um período típico e pontos notáveis (para desenhar o gráfico):
  • É suficiente estudar em [0,\pi] e aplicar periodicidade \pi e simetria.
  • Em [0,\tfrac{\pi}{2}]: \cos x\ge 0, então f(x)=\cos x. Valores: f(0)=1, f\big(\tfrac{\pi}{2}\big)=0. O comportamento é decrescente (pois f'(x)=-\sin x\le 0).
  • Em [\tfrac{\pi}{2},\pi]: \cos x\le 0, então f(x)=-\cos x. Valores: f\big(\tfrac{\pi}{2}\big)=0, f(\pi)=1. O comportamento é crescente (pois f'(x)=\sin x\ge 0).
  • Máximos: f(x)=1 em x=k\pi, k\in\mathbb{Z}.
  • Mínimos: f(x)=0 em x=\tfrac{\pi}{2}+k\pi, k\in\mathbb{Z}.
  • Diferenciabilidade: em x=\tfrac{\pi}{2}+k\pi a derivada não existe porque a derivada à esquerda vale -1 (ou +1 dependendo do intervalo) e à direita vale +1 (ou -1), produzindo uma “ponta” suave em forma de V invertido (na verdade é uma ponta de curva, não angulosa como valor absoluto linear, mas tem mudança de concavidade).

Passo 9

Como esboçar o gráfico passo a passo (instruções práticas para fazer à mão na prova):
  1. Desenhar eixos x,y.
  2. Marcar pontos-chave por período: em x=0 colocar y=1; em x=\tfrac{\pi}{2} colocar y=0; em x=\pi colocar y=1. Esses três pontos descrevem o padrão em [0,\pi].
  3. Traçar a curva suave decrescente de (0,1) até \big(\tfrac{\pi}{2},0\big), seguindo a forma de \cos x.
  4. Traçar a curva suave crescente de \big(\tfrac{\pi}{2},0\big) até (\pi,1), seguindo a forma de -\cos x.
  5. Repetir esse arco para a esquerda e direita com período \pi. Como f é par, o padrão é simétrico em relação ao eixo y.
  6. O gráfico resultante é uma sucessão de “vales” com fundo em y=0 nos pontos x=\tfrac{\pi}{2}+k\pi, e picos y=1 em x=k\pi.

Resposta

Domínio: \mathbb{R}
Imagem: [0,1]
Período fundamental: \pi
Sinais e zeros: f(x)\ge 0 para todo x. Zeros em x=\dfrac{\pi}{2}+k\pi,\;k\in\mathbb{Z}. Positiva para os demais x.
Esboço/forma do gráfico: arco decrescente de (0,1) a \big(\tfrac{\pi}{2},0\big) e arco crescente de \big(\tfrac{\pi}{2},0\big) a (\pi,1), repetidos com período \pi e simetria par; máximos 1 em x=k\pi e mínimos 0 em x=\tfrac{\pi}{2}+k\pi.

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