Calcule domínio, imagem, período, estude os sinais, e esboce o gráfico das funções abaixo:
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede:
- Domínio;
- Imagem (contradomínio efetivo);
- Período (período fundamental);
- Estudo dos sinais (onde é zero, onde é positiva);
- Esboço do gráfico (forma e pontos-chave).
Informação disponível: a expressão explícita
. Não há outras condições adicionais.
Passo 2
Domínio — o que isso significa e como achar:
- Domínio é o conjunto de todos os
para os quais a expressão da função está definida. - A função
está definida para todo . - A operação de valor absoluto
também não restringe o argumento (aplica-se a qualquer número real).
Logo, o domínio é
Passo 3
Imagem — entendimento e cálculo:
- Sabendo que para todo
vale . - Aplicando o valor absoluto, os possíveis valores tornam-se
. - Além disso, existem
tais que (por exemplo ) e tais que (por exemplo ).
Portanto a imagem é
Passo 4
Período — definição e demonstração do período fundamental:
- Definição:
é período de se para todo . - Sabemos que
. Aplicando módulo,
logo
é um período de
.
- Para achar o menor período positivo, suponha
com para todo . Tome :
Isso implica
, ou seja
para algum inteiro
. O menor
obtido é
(para
). Portanto o período fundamental é
Passo 5
Simetrias e continuidade (úteis para o esboço):
- Paridade:
então
portanto
é uma função par (simetria em relação ao eixo
).
- Continuidade:
é contínua e o valor absoluto preserva continuidade, logo é contínua em todo . - Diferenciabilidade: onde
, a função é diferenciável e a derivada pode ser obtida por partes. Nos pontos onde (veremos quais são), geralmente não é diferenciável (há mudança de sinal na expressão interna do módulo).
Passo 6
Expressão por partes e derivada (ajuda a estudar crescimento/decrescimento):
- Em intervalos onde
Nos pontos em que (\cos x=0] a derivada à esquerda e à direita costumam ser de sinais opostos, indicando não diferenciabilidade nesses pontos.]
Passo 7
Estudo dos sinais (onde é zero / positiva):
-
para todo por definição de módulo. - Zeros:
quando . Soluções:
- Positividade:
para todo que não seja dessas formas. Em termos de intervalos, em cada período tem: -
em e exatamente em .
-
Passo 8
Comportamento em um período típico e pontos notáveis (para desenhar o gráfico):
- É suficiente estudar em
e aplicar periodicidade e simetria. - Em
: , então . Valores: , . O comportamento é decrescente (pois ). - Em
: , então . Valores: , . O comportamento é crescente (pois ). - Máximos:
em , . - Mínimos:
em , . - Diferenciabilidade: em
a derivada não existe porque a derivada à esquerda vale (ou dependendo do intervalo) e à direita vale (ou ), produzindo uma “ponta” suave em forma de V invertido (na verdade é uma ponta de curva, não angulosa como valor absoluto linear, mas tem mudança de concavidade).
Passo 9
Como esboçar o gráfico passo a passo (instruções práticas para fazer à mão na prova):
- Desenhar eixos
. - Marcar pontos-chave por período: em
colocar ; em colocar ; em colocar . Esses três pontos descrevem o padrão em . - Traçar a curva suave decrescente de
até , seguindo a forma de . - Traçar a curva suave crescente de
até , seguindo a forma de . - Repetir esse arco para a esquerda e direita com período
. Como é par, o padrão é simétrico em relação ao eixo . - O gráfico resultante é uma sucessão de “vales” com fundo em
nos pontos , e picos em .
Resposta
Domínio:
Imagem:
Período fundamental:
Sinais e zeros: para todo
. Zeros em
. Positiva para os demais
.
Esboço/forma do gráfico: arco decrescente de a
e arco crescente de
a
, repetidos com período
e simetria par; máximos
em
e mínimos
em
.
Imagem:
Período fundamental:
Sinais e zeros:
Esboço/forma do gráfico: arco decrescente de