Determine:
e
Passo 1
O enunciado pede que eu determine os valores de duas funções trigonométricas para o ângulo
:
-
; -
.
Informações úteis imediatas que já temos do enunciado:
- O ângulo
é o mesmo que (pois rad = , logo ).
Passo 2
Construção geométrica que vamos usar (ideia): fazer um triângulo equilátero de lado
e traçar a altura. Por que isso ajuda? Um triângulo equilátero tem todos os ângulos iguais a
. Ao traçar a altura, ela divide o triângulo equilátero em dois triângulos retângulos congruentes cujos ângulos agudos são
e
. Assim obtemos um triângulo retângulo cujos ângulos são exatamente os que precisamos para
(ou
).
Passo 3
Calcular os comprimentos dos lados do triângulo retângulo obtido. Considere o triângulo equilátero de lado
. A altura divide a base em duas partes de comprimento
(metade de
). Seja
a altura; pelo Teorema de Pitágoras no triângulo retângulo com hipotenusa
e cateto
:
Portanto, o triângulo retângulo tem hipotenusa
, cateto menor (oposto a
) igual a
e cateto maior (adjacente a
) igual a
.
Passo 4
Lembrando as definições (em um triângulo retângulo):
Aqui queremos
(ou
). No triângulo que construímos:
- cateto oposto a
= ; - cateto adjacente a
= ; - hipotenusa =
.
Passo 5
Aplicando as fórmulas com os comprimentos obtidos:
Explicação rápida de sinal:
está no primeiro quadrante, onde seno e cosseno são positivos, então não há troca de sinal nesses valores.
Passo 6
Dica de memória rápida: pense no triângulo 30–60–90 com lados na razão
. Para
, seno = curto/hipotenusa =
; cosseno = longo/hipotenusa =
. Outra forma:
e
, o que também dá os mesmos valores.