Determine:
\quad \cos \left(\frac{\pi}{6}\right) e \operatorname{sen}\left(\frac{\pi}{6}\right)

Passo 1

O enunciado pede que eu determine os valores de duas funções trigonométricas para o ângulo \dfrac{\pi}{6}:
  • \cos\!\left(\dfrac{\pi}{6}\right);
  • \operatorname{sen}\!\left(\dfrac{\pi}{6}\right).
Informações úteis imediatas que já temos do enunciado:
  • O ângulo \dfrac{\pi}{6} é o mesmo que 30^\circ (pois \pi rad = 180^\circ, logo \dfrac{\pi}{6}=\dfrac{180^\circ}{6}=30^\circ).

Passo 2

Construção geométrica que vamos usar (ideia): fazer um triângulo equilátero de lado 2 e traçar a altura. Por que isso ajuda? Um triângulo equilátero tem todos os ângulos iguais a 60^\circ. Ao traçar a altura, ela divide o triângulo equilátero em dois triângulos retângulos congruentes cujos ângulos agudos são 30^\circ e 60^\circ. Assim obtemos um triângulo retângulo cujos ângulos são exatamente os que precisamos para \dfrac{\pi}{6} (ou 30^\circ).

Passo 3

Calcular os comprimentos dos lados do triângulo retângulo obtido. Considere o triângulo equilátero de lado 2. A altura divide a base em duas partes de comprimento 1 (metade de 2). Seja h a altura; pelo Teorema de Pitágoras no triângulo retângulo com hipotenusa 2 e cateto 1:
h=\sqrt{2^{2}-1^{2}}=\sqrt{4-1}=\sqrt{3}.
Portanto, o triângulo retângulo tem hipotenusa 2, cateto menor (oposto a 30^\circ) igual a 1 e cateto maior (adjacente a 30^\circ) igual a \sqrt{3}.

Passo 4

Lembrando as definições (em um triângulo retângulo):
\operatorname{sen}(\theta)=\frac{\text{cateto oposto a }\theta}{\text{hipotenusa}}, \qquad \cos(\theta)=\frac{\text{cateto adjacente a }\theta}{\text{hipotenusa}}.
Aqui queremos \theta=\dfrac{\pi}{6} (ou 30^\circ). No triângulo que construímos:
  • cateto oposto a 30^\circ = 1;
  • cateto adjacente a 30^\circ = \sqrt{3};
  • hipotenusa = 2.

Passo 5

Aplicando as fórmulas com os comprimentos obtidos:
\operatorname{sen}\!\left(\frac{\pi}{6}\right)=\frac{1}{2}, \qquad \cos\!\left(\frac{\pi}{6}\right)=\frac{\sqrt{3}}{2}.
Explicação rápida de sinal: \dfrac{\pi}{6} está no primeiro quadrante, onde seno e cosseno são positivos, então não há troca de sinal nesses valores.

Passo 6

Dica de memória rápida: pense no triângulo 30–60–90 com lados na razão 1:\sqrt{3}:2. Para 30^\circ, seno = curto/hipotenusa = 1/2; cosseno = longo/hipotenusa = \sqrt{3}/2. Outra forma: \operatorname{sen}\!\left(\dfrac{\pi}{6}\right)=\cos\!\left(\dfrac{\pi}{3}\right) e \cos\!\left(\dfrac{\pi}{6}\right)=\sin\!\left(\dfrac{\pi}{3}\right), o que também dá os mesmos valores.

Resposta

\cos\!\left(\dfrac{\pi}{6}\right)=\dfrac{\sqrt{3}}{2}
\operatorname{sen}\!\left(\dfrac{\pi}{6}\right)=\dfrac{1}{2}

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