Determine:
e
Passo 1
O enunciado pede que eu determine os valores de duas funções trigonométricas para o ângulo
:
- Calcular
. - Calcular
.
As informações dadas são apenas o ângulo
(em radianos). Nada mais foi fornecido.
Passo 2
Uma propriedade muito útil que vamos usar é como seno e cosseno se comportam quando o ângulo é negativo. Geometricamente, girar no sentido horário por
(ângulo negativo) espelha o ponto do círculo unitário em relação ao eixo
. Isso leva às identidades:
Explicando de forma simples: o cosseno é uma função par (não muda ao trocar
por
) e o seno é ímpar (muda de sinal).
Passo 3
Aplicando essas identidades ao nosso problema, obtemos uma redução:
Ou seja, agora só preciso calcular
e
.
Passo 4
Para achar
e
uso o triângulo retângulo de ângulos
e
(em radianos
e
). Considere um triângulo equilátero de lado
. Ao traçar a altura, forma-se um triângulo retângulo com hipotenusa
, cateto adjacente ao ângulo de
igual a
e cateto oposto igual à altura do equilátero. Pela Pitagoras:
Passo 5
No círculo unitário (hipotenusa
) isso significa:
Passo 6
Voltando às igualdades do Passo 3 e substituindo:
Como checagem rápida:
é
, que está no quarto quadrante onde o cosseno é positivo e o seno é negativo — bate com os sinais encontrados.