Determine:
\quad \cos \left(-\frac{\pi}{3}\right) e \operatorname{sen}\left(-\frac{\pi}{3}\right)

Passo 1

O enunciado pede que eu determine os valores de duas funções trigonométricas para o ângulo -\dfrac{\pi}{3}:
  • Calcular \cos\!\left(-\dfrac{\pi}{3}\right).
  • Calcular \operatorname{sen}\!\left(-\dfrac{\pi}{3}\right).
As informações dadas são apenas o ângulo -\dfrac{\pi}{3} (em radianos). Nada mais foi fornecido.

Passo 2

Uma propriedade muito útil que vamos usar é como seno e cosseno se comportam quando o ângulo é negativo. Geometricamente, girar no sentido horário por \theta (ângulo negativo) espelha o ponto do círculo unitário em relação ao eixo x. Isso leva às identidades:
\cos(-\theta)=\cos(\theta)
\operatorname{sen}(-\theta)=-\operatorname{sen}(\theta)
Explicando de forma simples: o cosseno é uma função par (não muda ao trocar \theta por -\theta) e o seno é ímpar (muda de sinal).

Passo 3

Aplicando essas identidades ao nosso problema, obtemos uma redução:
\cos\!\left(-\frac{\pi}{3}\right)=\cos\!\left(\frac{\pi}{3}\right)
\operatorname{sen}\!\left(-\frac{\pi}{3}\right)=-\operatorname{sen}\!\left(\frac{\pi}{3}\right)
Ou seja, agora só preciso calcular \cos\!\left(\dfrac{\pi}{3}\right) e \operatorname{sen}\!\left(\dfrac{\pi}{3}\right).

Passo 4

Para achar \cos\!\left(\dfrac{\pi}{3}\right) e \operatorname{sen}\!\left(\dfrac{\pi}{3}\right) uso o triângulo retângulo de ângulos 30^\circ e 60^\circ (em radianos \dfrac{\pi}{6} e \dfrac{\pi}{3}). Considere um triângulo equilátero de lado 1. Ao traçar a altura, forma-se um triângulo retângulo com hipotenusa 1, cateto adjacente ao ângulo de 60^\circ igual a \dfrac{1}{2} e cateto oposto igual à altura do equilátero. Pela Pitagoras:
\text{cateto oposto}=\sqrt{1-\left(\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{1-\frac{1}{4}}=\sqrt{\frac{3}{4}}=\frac{\sqrt{3}}{2}.

Passo 5

No círculo unitário (hipotenusa 1) isso significa:
\cos\!\left(\frac{\pi}{3}\right)=\frac{1}{2}, \qquad \operatorname{sen}\!\left(\frac{\pi}{3}\right)=\frac{\sqrt{3}}{2}.

Passo 6

Voltando às igualdades do Passo 3 e substituindo:
\cos\!\left(-\frac{\pi}{3}\right)=\frac{1}{2}, \qquad \operatorname{sen}\!\left(-\frac{\pi}{3}\right)=-\frac{\sqrt{3}}{2}.
Como checagem rápida: -\dfrac{\pi}{3} é -60^\circ, que está no quarto quadrante onde o cosseno é positivo e o seno é negativo — bate com os sinais encontrados.

Resposta

\cos\!\left(-\dfrac{\pi}{3}\right)=\dfrac{1}{2}
\operatorname{sen}\!\left(-\dfrac{\pi}{3}\right)=-\dfrac{\sqrt{3}}{2}

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