Calcule, nas duas ordens de integração, \iint_{D} x^{2} d x d y, onde D é a região do plano x 0 y , limitada por y=x e y=x^{2}.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla \iint_{D} x^{2}\,dx\,dy, onde D é a região do plano xOy limitada pelas curvas y=x e y=x^{2}.\n
Informações dadas:
  • As curvas que limitam D são y=x e y=x^{2}.\n
  • A região D é a parte do plano entre essas duas curvas (os pontos de interseção determinam os limites).\n
    O que é pedido:
  • Calcular a integral \iint_{D} x^{2}\,dx\,dy nas duas ordens de integração: primeiro com dy\,dx (integrando em y primeiro) e depois com dx\,dy (integrando em x primeiro).

Passo 2

A primeira coisa é encontrar os pontos de interseção entre y=x e y=x^{2}. Igualamos as duas curvas:
x = x^{2}.
Resolvendo,
x^{2}-x=0 \quad\Rightarrow\quad x(x-1)=0,
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x=0 \quad\text{ou}\quad x=1.
Substituindo em y=x obtemos os pontos de interseção (0,0) e (1,1).

Passo 3

Precisamos saber, entre x=0 e x=1, qual curva está acima (maior y). Testo rápido em x=\tfrac{1}{2}:
y_{\text{reta}}=x=\tfrac{1}{2},\qquad y_{\text{parábola}}=x^{2}=\tfrac{1}{4}.á
Como \tfrac{1}{2}>\tfrac{1}{4}, a reta y=x está acima da parábola y=x^{2} no intervalo [0,1]. Portanto, para 0\le x\le1 temos x^{2}\le y\le x.

Passo 4

Agora montei a integral na ordem dy\,dx: integrar em y primeiro, com y variando de y=x^{2} até y=x, e x variando de 0 a 1. A integral é
\int_{x=0}^{1}\int_{y=x^{2}}^{x} x^{2}\,dy\,dx.
Como x^{2} é constante em relação a y, a integração interna é direta:
\int_{y=x^{2}}^{x} x^{2}\,dy = x^{2}\bigl[y\bigr]_{y=x^{2}}^{y=x} = x^{2}\bigl(x - x^{2}\bigr).
Portanto a integral fica
\int_{0}^{1} x^{2}\bigl(x - x^{2}\bigr)\,dx = \int_{0}^{1}\bigl(x^{3}-x^{4}\bigr)\,dx.
Agora integramos em x termo a termo:
\int_{0}^{1} x^{3}\,dx = \left[\frac{x^{4}}{4}\right]_{0}^{1}=\frac{1}{4}, \qquad \int_{0}^{1} x^{4}\,dx = \left[\frac{x^{5}}{5}\right]_{0}^{1}=\frac{1}{5}.
Subtraindo,
\int_{0}^{1}\bigl(x^{3}-x^{4}\bigr)\,dx = \frac{1}{4}-\frac{1}{5} = \frac{5-4}{20}=\frac{1}{20}.

Passo 5

Agora vou montar a integral na ordem dx\,dy. Para isso preciso, para cada y, determinar os valores de x que pertencem à região D. As curvas escritas como x= em função de y são:
\text{reta: } y=x \Rightarrow x=y,\qquad \text{parábola: } y=x^{2}\Rightarrow x=\sqrt{y}\\ (\text{aqui tomamos }x\ge0).á
O intervalo de y é de y=0 a y=1 (porque as interseções têm y=0 e y=1). Para um y em (0,1) verificamos qual é o menor e o maior valor de x: por exemplo, para y=\tfrac{1}{4} temos x_{\text{reta}}=y=\tfrac{1}{4} e x_{\text{parábola}}=\sqrt{y}=\tfrac{1}{2}á, então y<\sqrt{y}. Logo em todo 0\le y\le1 temos
x \text{ varia de } x=y \text{ (esquerda) até } x=\sqrt{y}\text{ (direita)}.é

Passo 6

Assim a integral em ordem dx\,dy é
\int_{y=0}^{1}\int_{x=y}^{\sqrt{y}} x^{2}\,dx\,dy.
Calculamos a integral interna em x:
\int_{x=y}^{\sqrt{y}} x^{2}\,dx = \left[\frac{x^{3}}{3}\right]_{x=y}^{x=\sqrt{y}} = \frac{(\sqrt{y})^{3}}{3}-\frac{y^{3}}{3} = \frac{y^{3/2}}{3}-\frac{y^{3}}{3}.
Agora integramos em y de 0 a 1:
\int_{0}^{1}\left(\frac{y^{3/2}}{3}-\frac{y^{3}}{3}\right)\,dy = \frac{1}{3}\left(\int_{0}^{1} y^{3/2}\,dy - \int_{0}^{1} y^{3}\,dy\right).
Usando a regra de potência \int y^{n}\,dy = \frac{y^{n+1}}{n+1}:
\int_{0}^{1} y^{3/2}\,dy = \left[\frac{y^{5/2}}{5/2}\right]_{0}^{1} = \frac{2}{5}, \qquad \int_{0}^{1} y^{3}\,dy = \left[\frac{y^{4}}{4}\right]_{0}^{1} = \frac{1}{4}.
Portanto
\frac{1}{3}\left(\frac{2}{5}-\frac{1}{4}\right) = \frac{1}{3}\left(\frac{8-5}{20}\right)=\frac{1}{3}\cdot\frac{3}{20}=\frac{1}{20}.

Passo 7

Concluímos que, nas duas ordens de integração, a integral vale o mesmo (como deve acontecer para uma função integrável numa região bem comportada). Resultado final: \dfrac{1}{20}. Força aí — dá pra memorizar o procedimento: achar interseções, decidir qual curva é superior/inferior ou esquerda/direita, escrever limites e integrar passo a passo.

Resposta

\displaystyle \int_{x=0}^{1}\int_{y=x^{2}}^{x} x^{2}\,dy\,dx=\frac{1}{20}\n
\displaystyle \int_{y=0}^{1}\int_{x=y}^{\sqrt{y}} x^{2}\,dx\,dy=\frac{1}{20}

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