Calcule, nas duas ordens de integração,
, onde D é a região do plano x 0 y , limitada por
e
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral dupla
, onde
é a região do plano
limitada pelas curvas
e
.\n
Informações dadas:
Informações dadas:
- As curvas que limitam
são e .\n - A região
é a parte do plano entre essas duas curvas (os pontos de interseção determinam os limites).\n
O que é pedido: - Calcular a integral
nas duas ordens de integração: primeiro com (integrando em primeiro) e depois com (integrando em primeiro).
Passo 2
A primeira coisa é encontrar os pontos de interseção entre
e
. Igualamos as duas curvas:
Resolvendo,
logo
Substituindo em
obtemos os pontos de interseção
e
.
Passo 3
Precisamos saber, entre
e
, qual curva está acima (maior
). Testo rápido em
:
Como
, a reta
está acima da parábola
no intervalo
. Portanto, para
temos
.
Passo 4
Agora montei a integral na ordem
: integrar em
primeiro, com
variando de
até
, e
variando de
a
. A integral é
Como
é constante em relação a
, a integração interna é direta:
Portanto a integral fica
Agora integramos em
termo a termo:
Subtraindo,
Passo 5
Agora vou montar a integral na ordem
. Para isso preciso, para cada
, determinar os valores de
que pertencem à região
. As curvas escritas como
em função de
são:
O intervalo de
é de
a
(porque as interseções têm
e
). Para um
em
verificamos qual é o menor e o maior valor de
: por exemplo, para
temos
e
, então
. Logo em todo
temos
Passo 6
Assim a integral em ordem
é
Calculamos a integral interna em
:
Agora integramos em
de
a
:
Usando a regra de potência
:
Portanto
Passo 7
Concluímos que, nas duas ordens de integração, a integral vale o mesmo (como deve acontecer para uma função integrável numa região bem comportada). Resultado final:
. Força aí — dá pra memorizar o procedimento: achar interseções, decidir qual curva é superior/inferior ou esquerda/direita, escrever limites e integrar passo a passo.