Calcular o volume do tetraedro ABCD por meio de uma integral tripla.
Passo 2
Primeiro precisamos da equação do plano que contém A,B,D. Como esses pontos são interseções do plano com os eixos x, y e z, podemos usar a forma de interceptos: se um plano intercepta os eixos em (a,0,0),(0,b,0),(0,0,c) então a equação do plano é
\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1.
Aqui os interceptos são a=4, b=2, c=6 (porque A,B,D estão sobre os respectivos eixos). Logo a equação do plano que passa por A,B,D é
\frac{x}{4}+\frac{y}{2}+\frac{z}{6}=1.
Explicação rápida do porquê: substituindo (a,0,0) na expressão obtemos 1, o mesmo para os outros interceptos, e a expressão é linear em x,y,z, então define um plano.
Passo 3
Descrição da região sólida (o tetraedro) para montar a integral tripla.
Pela equação do plano, os pontos do tetraedro satisfazem as desigualdades
x\ge 0,\qquad y\ge 0,\qquad z\ge 0,
e
\frac{x}{4}+\frac{y}{2}+\frac{z}{6}\le 1.
Essa última inequação garante que estamos do lado do plano voltado para a origem (onde está C).
Passo 4
Escolha da ordem de integração: vamos integrar primeiro em z (vertical), depois em y e por fim em x. Motivo: a desigualdade acima é linear em z, então o limite superior de z fica simples.
Como checagem rápida (opcional): o tetraedro tem vértices em C(0,0,0), A(4,0,0), B(0,2,0), D(0,0,6). O volume de um tetraedro com um vértice na origem e outros três vértices dados pelos vetores \vec{u},\vec{v},\vec{w} é