Calcule, usando integral tripla, o volume do tetraedro ABCD , com A(4,0,0), B(0,2,0), C(0,0,0) e D(0,0,6).

Passo 1

O enunciado pede para calcular, usando integral tripla, o volume do tetraedro ABCD cujos vértices são A(4,0,0), B(0,2,0), C(0,0,0) e D(0,0,6).
Informações dadas:
A(4,0,0),\qquad B(0,2,0),\qquad C(0,0,0),\qquad D(0,0,6).
Pergunta a responder:
  • Calcular o volume do tetraedro ABCD por meio de uma integral tripla.

Passo 2

Primeiro precisamos da equação do plano que contém A,B,D. Como esses pontos são interseções do plano com os eixos x, y e z, podemos usar a forma de interceptos: se um plano intercepta os eixos em (a,0,0),(0,b,0),(0,0,c) então a equação do plano é
\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1.
Aqui os interceptos são a=4, b=2, c=6 (porque A,B,D estão sobre os respectivos eixos). Logo a equação do plano que passa por A,B,D é
\frac{x}{4}+\frac{y}{2}+\frac{z}{6}=1.
Explicação rápida do porquê: substituindo (a,0,0) na expressão obtemos 1, o mesmo para os outros interceptos, e a expressão é linear em x,y,z, então define um plano.

Passo 3

Descrição da região sólida (o tetraedro) para montar a integral tripla.
Pela equação do plano, os pontos do tetraedro satisfazem as desigualdades
x\ge 0,\qquad y\ge 0,\qquad z\ge 0,
e
\frac{x}{4}+\frac{y}{2}+\frac{z}{6}\le 1.
Essa última inequação garante que estamos do lado do plano voltado para a origem (onde está C).

Passo 4

Escolha da ordem de integração: vamos integrar primeiro em z (vertical), depois em y e por fim em x. Motivo: a desigualdade acima é linear em z, então o limite superior de z fica simples.
Da desigualdade do plano isolamos z:
\frac{z}{6}=1-\frac{x}{4}-\frac{y}{2}\quad\Rightarrow\quad z=6\!\left(1-\frac{x}{4}-\frac{y}{2}\right).
Como z\ge0, isto impõe 1-\dfrac{x}{4}-\dfrac{y}{2}\ge0, que leva a
y\le 2\!\left(1-\frac{x}{4}\right)=2-\frac{x}{2}.
Além disso x\ge0 e, para y não-negativo, o maior valor possível de x ocorre quando y=0, dando x\le 4. Portanto os limites são:
0\le x\le 4,\qquad 0\le y\le 2-\frac{x}{2},\qquad 0\le z\le 6\!\left(1-\frac{x}{4}-\frac{y}{2}\right).

Passo 5

Montamos a integral tripla do volume V:
V=\iiint_{\text{tetra}} dV=\int_{x=0}^{4}\int_{y=0}^{\,2-\frac{x}{2}}\int_{z=0}^{\,6\left(1-\frac{x}{4}-\frac{y}{2}\right)} dz\,dy\,dx.

Passo 6

Calcule a integral interna em z. Integrando dz de 0 até 6\left(1-\dfrac{x}{4}-\dfrac{y}{2}\right) obtemos simplesmente a altura:
\int_{0}^{6\left(1-\frac{x}{4}-\frac{y}{2}\right)} dz =6\left(1-\frac{x}{4}-\frac{y}{2}\right).
Então a integral dupla restante é
V=\int_{0}^{4}\int_{0}^{\,2-\frac{x}{2}} 6\left(1-\frac{x}{4}-\frac{y}{2}\right) dy\,dx.

Passo 7

Integre em y. Defina Y=2-\dfrac{x}{2} para tornar a escrita mais limpa. Calcule
\int_{0}^{Y} 6\left(1-\frac{x}{4}-\frac{y}{2}\right) dy =6\left[\left(1-\frac{x}{4}\right)Y-\frac{Y^{2}}{4}\right].
Agora substituímos Y=2-\dfrac{x}{2}. Primeiro observe que
1-\frac{x}{4}=\frac{4-x}{4},\qquad Y=2-\frac{x}{2}.
Substituindo:
6\left(1-\frac{x}{4}\right)Y=6\cdot\frac{4-x}{4}\cdot\left(2-\frac{x}{2}\right)=\frac{3}{2}(4-x)\left(2-\frac{x}{2}\right),
e
6\cdot\frac{Y^{2}}{4}=\frac{3}{2}\left(2-\frac{x}{2}\right)^{2}.
Então a diferença (o valor da integral em y) é
\frac{3}{2}\Big[(4-x)\left(2-\frac{x}{2}\right)-\left(2-\frac{x}{2}\right)^{2}\Big].
Fatorando \left(2-\dfrac{x}{2}\right) obtemos uma grande simplificação:
(4-x)\left(2-\frac{x}{2}\right)-\left(2-\frac{x}{2}\right)^{2} =\left(2-\frac{x}{2}\right)\left[(4-x)-\left(2-\frac{x}{2}\right)\right] =\left(2-\frac{x}{2}\right)\left(2-\frac{x}{2}\right) =\left(2-\frac{x}{2}\right)^{2}.
Portanto o resultado da integração em y é
\frac{3}{2}\left(2-\frac{x}{2}\right)^{2}.

Passo 8

Agora integramos em x:
V=\int_{0}^{4}\frac{3}{2}\left(2-\frac{x}{2}\right)^{2} dx.
Fazemos a substituição u=2-\dfrac{x}{2}. Então du=-\dfrac{1}{2}dx ou dx=-2\,du. Quando x=0 temos u=2; quando x=4 temos u=0. Assim
V=\frac{3}{2}\int_{x=0}^{4}\left(2-\frac{x}{2}\right)^{2} dx =\frac{3}{2}\int_{u=2}^{0} u^{2}(-2)\,du =3\int_{0}^{2} u^{2}\,du.
Calcule a integral:
3\int_{0}^{2} u^{2}\,du=3\left[\frac{u^{3}}{3}\right]_{0}^{2}=\left[u^{3}\right]_{0}^{2}=2^{3}-0=8.

Passo 9

Como checagem rápida (opcional): o tetraedro tem vértices em C(0,0,0), A(4,0,0), B(0,2,0), D(0,0,6). O volume de um tetraedro com um vértice na origem e outros três vértices dados pelos vetores \vec{u},\vec{v},\vec{w} é
V=\frac{1}{6}\left|\det\big(\vec{u},\vec{v},\vec{w}\big)\right|.
Aqui \vec{u}=A-C=(4,0,0), \vec{v}=B-C=(0,2,0), \vec{w}=D-C=(0,0,6). O determinante é 4\cdot2\cdot6=48, então
V=\frac{1}{6}\cdot 48=8,
confirmando o resultado obtido pela integral.

Resposta

\,8\,

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