Integre na ordem mais conveniente a integral dupla \iint_{D} \frac{y^{2}}{1+x^{2}} d x d y, sendo D=\left\{(x, y) \in R^{2} / 0 \leq x \leq 1\right. e \left.0 \leq y \leq 1\right\}.
Passo 1
O enunciado pede que a gente calcule a integral dupla
A função a ser integrada é \dfrac{y^{2}}{1+x^{2}}.
O domínio é um retângulo (produto de intervalos) com limites independentes em x e y.
O enunciado pede para integrar “na ordem mais conveniente” — ou seja, podemos escolher a ordem de integração que torne as contas mais simples.
Passo 2
Observação útil (por que isso facilita): a função integranda é um produto de uma função só de y com uma só de x. Escrevemos
\frac{y^{2}}{1+x^{2}} = \underbrace{\frac{1}{1+x^{2}}}_{\text{função só de }x}\cdot\underbrace{y^{2}}_{\text{função só de }y}.
Quando o domínio é um retângulo (aqui [0,1]\times[0,1]), podemos usar a propriedade de separação (seguindo o teorema de Fubini/Tonelli) que permite transformar a integral dupla no produto de integrais simples. Em termos práticos isso significa que é conveniente integrar primeiro em x (ou em y), dependendo de qual primitiva é mais simples. Aqui, a primitiva de \dfrac{1}{1+x^{2}} é conhecida (arctan), então vou integrar primeiro em x. Assim, escrevo