Integre na ordem mais conveniente a integral dupla \iint_{D} \frac{y^{2}}{1+x^{2}} d x d y, sendo D=\left\{(x, y) \in R^{2} / 0 \leq x \leq 1\right. e \left.0 \leq y \leq 1\right\}.

Passo 1

O enunciado pede que a gente calcule a integral dupla
\iint_{D} \frac{y^{2}}{1+x^{2}}\,dx\,dy
onde o domínio D é o quadrado unitário dado por
D=\{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}\mid 0\le x\le 1,\;0\le y\le 1\}.
Informações importantes fornecidas:
  • A função a ser integrada é \dfrac{y^{2}}{1+x^{2}}.
  • O domínio é um retângulo (produto de intervalos) com limites independentes em x e y.
  • O enunciado pede para integrar “na ordem mais conveniente” — ou seja, podemos escolher a ordem de integração que torne as contas mais simples.

Passo 2

Observação útil (por que isso facilita): a função integranda é um produto de uma função só de y com uma só de x. Escrevemos
\frac{y^{2}}{1+x^{2}} = \underbrace{\frac{1}{1+x^{2}}}_{\text{função só de }x}\cdot\underbrace{y^{2}}_{\text{função só de }y}.çãóçãó
Quando o domínio é um retângulo (aqui [0,1]\times[0,1]), podemos usar a propriedade de separação (seguindo o teorema de Fubini/Tonelli) que permite transformar a integral dupla no produto de integrais simples. Em termos práticos isso significa que é conveniente integrar primeiro em x (ou em y), dependendo de qual primitiva é mais simples. Aqui, a primitiva de \dfrac{1}{1+x^{2}} é conhecida (arctan), então vou integrar primeiro em x. Assim, escrevo
\iint_{D}\frac{y^{2}}{1+x^{2}}\,dx\,dy = \int_{0}^{1}\left(\int_{0}^{1}\frac{y^{2}}{1+x^{2}}\,dx\right)dy.

Passo 3

Calcule a integral interna em x. Como y é constante quando integramos em x, podemos tirá-lo fora da integral:
\int_{0}^{1}\frac{y^{2}}{1+x^{2}}\,dx = y^{2}\int_{0}^{1}\frac{1}{1+x^{2}}\,dx.
Conhecimento de cálculo: a primitiva da função \dfrac{1}{1+x^{2}} é a função \arctan(x), pois \dfrac{d}{dx}\arctan(x)=\dfrac{1}{1+x^{2}}. Portanto
\int_{0}^{1}\frac{1}{1+x^{2}}\,dx = \arctan(1)-\arctan(0).
Sabendo que \arctan(1)=\dfrac{\pi}{4} e \arctan(0)=0, obtemos
\int_{0}^{1}\frac{1}{1+x^{2}}\,dx = \frac{\pi}{4}.
Logo a integral interna é
\int_{0}^{1}\frac{y^{2}}{1+x^{2}}\,dx = y^{2}\cdot\frac{\pi}{4}.

Passo 4

Agora integramos em y a expressão obtida:
\int_{0}^{1}\left(y^{2}\cdot\frac{\pi}{4}\right)dy = \frac{\pi}{4}\int_{0}^{1}y^{2}\,dy.
Regra de potência para integrais: \displaystyle\int y^{n}\,dy=\frac{y^{n+1}}{n+1} para n\neq-1. Aplicando com n=2,
\int_{0}^{1}y^{2}\,dy = \left.\frac{y^{3}}{3}\right|_{0}^{1} = \frac{1}{3}.
Portanto
\frac{\pi}{4}\int_{0}^{1}y^{2}\,dy = \frac{\pi}{4}\cdot\frac{1}{3}.

Passo 5

Multiplicando os fatores constantes:
\frac{\pi}{4}\cdot\frac{1}{3} = \frac{\pi}{12}.
Portanto a integral dupla vale \dfrac{\pi}{12}.

Resposta

\displaystyle \frac{\pi}{12}

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