Calcule a energia magnética
armazenada em um solenóide cilíndrico longo, de comprimento
, raio
e densidade linear de espiras
e utilize esse resultado para calcular a auto-indutância
.
Passo 1
O enunciado dá um solenóide cilíndrico longo com:
- comprimento
, - raio
, - densidade linear de espiras
(espiras por unidade de comprimento), - corrente
que percorre cada espira (a corrente aparece implicitamente ao pedirem e ).
O que o exercício pede:
- calcular a energia magnética
armazenada no solenóide; - usar esse resultado para calcular a autoindutância
.
Observação importante (dados implícitos que vamos usar): considerar o solenóide longo (campo aproximadamente uniforme no interior e desprezível no exterior) e meio magnético igual ao do vácuo (constante
).
Passo 2
Vamos primeiro obter o campo magnético
dentro de um solenóide longo. Para isso aplicamos a Lei de Ampère na forma integral:
Escolhendo um laço retangular que percorre um trecho de comprimento
dentro do solenóide (onde o campo é aproximadamente uniforme e paralelo ao eixo) e volta por uma região externa onde o campo é desprezível, obtém-se
onde
é o número de espiras cortadas pelo laço (cada espira transporta corrente
). Cancelando
vem
Explicando as variáveis:
é a permeabilidade do vácuo,
é o número de espiras por unidade de comprimento e
é a corrente.
Passo 3
Agora a fórmula para densidade de energia magnética (energia por unidade de volume) em vácuo: em termos de
e
vale
Em vácuo
, então
Significado:
tem unidades de energia por volume (J/m^3). Aqui
é o módulo do campo magnético (em tesla) e
em
(henry por metro).
Passo 4
A energia magnética total
é a integral dessa densidade sobre o volume onde o campo existe. Para o solenóide longo o campo é essencialmente uniforme no interior (volume
) e desprezível fora, logo
Substituindo
(do Passo 2):
Mostrando passo a passo da simplificação:
Passo 5
A relação entre energia armazenada em um indutor e sua indutância é a conhecida fórmula
Igualando essa expressão com o
encontrado no Passo 4 e resolvendo para
:
Podemos também escrever
em termos do número total de espiras
. Como
,
Passo 6
Resumo das hipóteses usadas e comentários práticos:
- A expressão acima vale para solenóides longos, ou seja quando
, de modo que o campo externo seja desprezível e o campo interno praticamente uniforme. - Se o meio dentro do solenóide tiver permeabilidade
(diferente de ), basta substituir por nas fórmulas. - Conferência dimensional rápida:
, , => em henry, ok.