Calcule a energia magnética U_{m} armazenada em um solenóide cilíndrico longo, de comprimento h, raio a e densidade linear de espiras n e utilize esse resultado para calcular a auto-indutância L.

Passo 1

O enunciado dá um solenóide cilíndrico longo com:
  • comprimento h,
  • raio a,
  • densidade linear de espiras n (espiras por unidade de comprimento),
  • corrente I que percorre cada espira (a corrente aparece implicitamente ao pedirem U_{m} e L).
O que o exercício pede:
  • calcular a energia magnética U_{m} armazenada no solenóide;
  • usar esse resultado para calcular a autoindutância L.
Observação importante (dados implícitos que vamos usar): considerar o solenóide longo (campo aproximadamente uniforme no interior e desprezível no exterior) e meio magnético igual ao do vácuo (constante \mu_0).

Passo 2

Vamos primeiro obter o campo magnético \mathbf{B} dentro de um solenóide longo. Para isso aplicamos a Lei de Ampère na forma integral:
\oint \mathbf{B}\cdot d\mathbf{l}=\mu_0 I_{\text{enc}}.
Escolhendo um laço retangular que percorre um trecho de comprimento l dentro do solenóide (onde o campo é aproximadamente uniforme e paralelo ao eixo) e volta por uma região externa onde o campo é desprezível, obtém-se
B\,l=\mu_0 (n l) I,
onde n l é o número de espiras cortadas pelo laço (cada espira transporta corrente I). Cancelando l vem
B=\mu_0 n I.
Explicando as variáveis: \mu_0 é a permeabilidade do vácuo, n é o número de espiras por unidade de comprimento e I é a corrente.

Passo 3

Agora a fórmula para densidade de energia magnética (energia por unidade de volume) em vácuo: em termos de \mathbf{B} e \mathbf{H} vale
u=\tfrac{1}{2}\mathbf{B}\cdot\mathbf{H}.
Em vácuo \mathbf{H}=\mathbf{B}/\mu_0, então
u=\frac{B^2}{2\mu_0}.
Significado: u tem unidades de energia por volume (J/m^3). Aqui B é o módulo do campo magnético (em tesla) e \mu_0 em \text{H/m} (henry por metro).

Passo 4

A energia magnética total U_{m} é a integral dessa densidade sobre o volume onde o campo existe. Para o solenóide longo o campo é essencialmente uniforme no interior (volume V=\pi a^2 h) e desprezível fora, logo
U_{m}=\int_{\text{volume}} u\,dV = u \cdot V = \frac{B^2}{2\mu_0}\cdot (\pi a^2 h).
Substituindo B=\mu_0 n I (do Passo 2):
U_{m}=\frac{(\mu_0 n I)^2}{2\mu_0}\cdot \pi a^2 h = \frac{1}{2}\,\mu_0 n^2 I^2 \,\pi a^2 h.
Mostrando passo a passo da simplificação:
\frac{(\mu_0 n I)^2}{2\mu_0}=\frac{\mu_0^2 n^2 I^2}{2\mu_0}=\frac{1}{2}\mu_0 n^2 I^2.

Passo 5

A relação entre energia armazenada em um indutor e sua indutância é a conhecida fórmula
U_{m}=\tfrac{1}{2} L I^2.
Igualando essa expressão com o U_{m} encontrado no Passo 4 e resolvendo para L:
\tfrac{1}{2}L I^2 = \tfrac{1}{2}\mu_0 n^2 I^2 \,\pi a^2 h \quad\Longrightarrow\quad L=\mu_0 n^2 \,\pi a^2 h.
Podemos também escrever L em termos do número total de espiras N. Como N=n h,
L=\mu_0 \frac{N^2}{h^2}\pi a^2 h=\mu_0 \frac{N^2}{h}\pi a^2.

Passo 6

Resumo das hipóteses usadas e comentários práticos:
  • A expressão acima vale para solenóides longos, ou seja quando h\gg a, de modo que o campo externo seja desprezível e o campo interno praticamente uniforme.
  • Se o meio dentro do solenóide tiver permeabilidade \mu (diferente de \mu_0), basta substituir \mu_0 por \mu nas fórmulas.
  • Conferência dimensional rápida: [\mu_0]=\text{H/m}, [n^2]=\text{m}^{-2}, [\pi a^2 h]=\text{m}^3 => L em henry, ok.

Resposta

U_{m}=\tfrac{1}{2}\,\mu_0 n^2 I^2 \,\pi a^2 h
L=\mu_0 n^2 \,\pi a^2 h = \mu_0 \frac{N^2}{h}\,\pi a^2 \quad\text{com }N=n h.

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