(2,0 pontos) Calcule a indutância mútua
entre um solenóide infinito de raio
, densidade linear de espiras
e um solenóide finito de comprimento
, raio
, (situado no eixo de simetria do solenóide maior) e com densidade linear de espiras
. Qual o fluxo de campo magnético na seção do solenóide maior se o solenóide finito for percorrido por uma corrente
?
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
-
Dados do problema (pegos do enunciado):
- Solenóide maior (infinito): raio
e densidade linear de espiras (espiras por unidade de comprimento). - Solenóide menor (finito): comprimento
, raio e densidade linear de espiras . - O solenóide menor está coaxial e totalmente dentro do maior (no eixo de simetria).
- Quando o solenóide menor é percorrido por uma corrente
devemos encontrar o fluxo magnético na seção do solenóide maior.
- Solenóide maior (infinito): raio
-
O que o enunciado pede:
- Calcular a indutância mútua
entre os dois solenóides. - Determinar o fluxo de campo magnético na seção do solenóide maior quando o solenóide finito (o menor) é percorrido por uma corrente
.
- Calcular a indutância mútua
Passo 2
Definição e estratégia (sem ainda calcular).
- Definição de indutância mútua: para dois enrolamentos 1 e 2, a indutância mútua
pode ser definida por
onde
é o fluxo magnético total ligado ao enrolamento 2 devido à corrente
no enrolamento 1 (e similarmente para o outro caso). “Fluxo total ligado” significa a soma dos fluxos sobre todas as espiras do enrolamento considerado.
- Observação prática: como o solenóide maior é infinito, o campo magnético que ele gera no seu interior é simples e uniforme (isso vai facilitar a conta). É conveniente calcular o fluxo ligado ao solenóide finito devido à corrente no solenóide infinito e a partir daí obter
. Depois usaremos a simetria (reciprocidade) para encontrar o fluxo no maior devido à corrente no menor.
Passo 3
Campo magnético dentro de um solenóide infinito (revendo a fórmula e por quê).
- Para um solenóide longo e estreitamente enrolado, o campo magnético dentro (para
) é uniforme e dado por
onde:
-
é a permeabilidade do vácuo, -
é a densidade linear de espiras (espiras por unidade de comprimento), -
é a corrente no solenóide. - Rápida justificativa (Ampère): escolher um laço retangular que cruza o interior do solenóide; fora, o campo é (aproximadamente) nulo, e dentro é axial e constante, levando a
, daí . - Aplicação aqui: o solenóide maior (infinito) com densidade
gera, dentro do seu raio , um campo uniforme
na direção do eixo, para qualquer corrente
que circular nas espiras do solenóide maior.
Passo 4
Fluxo ligado ao solenóide finito devido à corrente no solenóide infinito (cálculo explícito).
- Cada espira do solenóide finito (raio
) vê o campo do solenóide infinito uniforme na sua área, porque a espira está totalmente dentro do raio do solenóide infinito. O fluxo através de uma espira do solenóide finito, devido à corrente no solenóide maior, é então
- O solenóide finito tem
espiras dadas por (densidade vezes comprimento ). Logo o fluxo total ligado ao solenóide finito é
Passo 5
Cálculo da indutância mútua
.
- Usando a definição
obtemos
- Comentário físico:
é proporcional à área comum das espiras (a área do solenóide menor ), às densidades de espira de ambos e ao comprimento de sobreposição . A expressão é simétrica em e , como deve ser.
Passo 6
Fluxo na seção do solenóide maior quando o solenóide finito é percorrido por corrente
(usando reciprocidade).
- Precisamos interpretar “fluxo na seção do solenóide maior”: normalmente isto significa o fluxo que atravessa uma única espira (ou a área circular) do solenóide maior. Vamos calcular o fluxo por espira do solenóide maior devido à corrente
no solenóide menor. - Pelo teorema da reciprocidade da indutância mútua,
é o mesmo independentemente de qual corrente gerou o fluxo. Então: - O fluxo total ligado ao trecho do solenóide maior que está sobreposto ao solenóide menor (comprimento
) devido à corrente no solenóide menor é . - O número de espiras desse trecho do solenóide maior é
. Assim o fluxo por espira (ou fluxo na seção do solenóide maior) é
- O fluxo total ligado ao trecho do solenóide maior que está sobreposto ao solenóide menor (comprimento
- Substituindo
encontrado:
- Observação intuitiva: o fluxo por espira do solenóide maior é igual à área
vezes o campo axial médio que as espiras do solenóide menor produzem na região interior a . A expressão acima dá exatamente isso.
Passo 7
Resumo das fórmulas finais e checagem rápida de consistência.
- Indutância mútua:
- Fluxo magnético na seção (por espira) do solenóide maior quando o solenóide finito transporta corrente
:
- Checagem de dimensões:
(H/m) × (1/m) × (m^2) × (m) dá henry (H) para — consistente. Para : tem unidades de (H/m × 1/m × m^2 × A) = weber (Wb) — consistente com fluxo.