(2,0 pontos) Calcule a indutância mútua M entre um solenóide infinito de raio R_{2}, densidade linear de espiras n_{2} e um solenóide finito de comprimento d, raio R_{1}<R_{2}, (situado no eixo de simetria do solenóide maior) e com densidade linear de espiras n_{1}. Qual o fluxo de campo magnético na seção do solenóide maior se o solenóide finito for percorrido por uma corrente I ?

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Dados do problema (pegos do enunciado):
    • Solenóide maior (infinito): raio \,R_{2}\, e densidade linear de espiras \,n_{2}\, (espiras por unidade de comprimento).
    • Solenóide menor (finito): comprimento \,d\,, raio \,R_{1}<R_{2}\, e densidade linear de espiras \,n_{1}\,.
    • O solenóide menor está coaxial e totalmente dentro do maior (no eixo de simetria).
    • Quando o solenóide menor é percorrido por uma corrente \,I\, devemos encontrar o fluxo magnético na seção do solenóide maior.
  • O que o enunciado pede:
    1. Calcular a indutância mútua M entre os dois solenóides.
    2. Determinar o fluxo de campo magnético na seção do solenóide maior quando o solenóide finito (o menor) é percorrido por uma corrente I.

Passo 2

Definição e estratégia (sem ainda calcular).
  • Definição de indutância mútua: para dois enrolamentos 1 e 2, a indutância mútua M pode ser definida por
M=\frac{\Phi_{2\leftarrow1}^{\text{(total)}}}{I_1}=\frac{\Phi_{1\leftarrow2}^{\text{(total)}}}{I_2},
onde \Phi_{2\leftarrow1}^{\text{(total)}} é o fluxo magnético total ligado ao enrolamento 2 devido à corrente I_1 no enrolamento 1 (e similarmente para o outro caso). “Fluxo total ligado” significa a soma dos fluxos sobre todas as espiras do enrolamento considerado.
  • Observação prática: como o solenóide maior é infinito, o campo magnético que ele gera no seu interior é simples e uniforme (isso vai facilitar a conta). É conveniente calcular o fluxo ligado ao solenóide finito devido à corrente no solenóide infinito e a partir daí obter M. Depois usaremos a simetria (reciprocidade) para encontrar o fluxo no maior devido à corrente no menor.

Passo 3

Campo magnético dentro de um solenóide infinito (revendo a fórmula e por quê).
  • Para um solenóide longo e estreitamente enrolado, o campo magnético dentro (para r<R) é uniforme e dado por
B=\mu_0\, n\, I,
onde:
  • \mu_0 é a permeabilidade do vácuo,
  • n é a densidade linear de espiras (espiras por unidade de comprimento),
  • I é a corrente no solenóide.
  • Rápida justificativa (Ampère): escolher um laço retangular que cruza o interior do solenóide; fora, o campo é (aproximadamente) nulo, e dentro é axial e constante, levando a \oint \vec B\cdot d\vec\ell = B \ell = \mu_0 I_{\text{enc}} = \mu_0 (n \ell) I, daí B=\mu_0 n I.
  • Aplicação aqui: o solenóide maior (infinito) com densidade \,n_2 gera, dentro do seu raio \,R_2, um campo uniforme
B_{\text{maior}}=\mu_0\, n_2\, I_2,
na direção do eixo, para qualquer corrente I_2 que circular nas espiras do solenóide maior.

Passo 4

Fluxo ligado ao solenóide finito devido à corrente no solenóide infinito (cálculo explícito).
  • Cada espira do solenóide finito (raio \,R_1<R_2) vê o campo do solenóide infinito uniforme na sua área, porque a espira está totalmente dentro do raio do solenóide infinito. O fluxo através de uma espira do solenóide finito, devido à corrente I_2 no solenóide maior, é então
\Phi_{\text{por espira}}=B_{\text{maior}}\times (\text{área da espira}) =\big(\mu_0\, n_2\, I_2\big)\times \big(\pi R_1^2\big).á
  • O solenóide finito tem N_1 espiras dadas por N_1=n_1 d (densidade \,n_1 vezes comprimento \,d). Logo o fluxo total ligado ao solenóide finito é
\Phi_{1\leftarrow2}^{\text{(total)}}=N_1\Phi_{\text{por espira}} =(n_1 d)\,\big(\mu_0\, n_2\, I_2\big)\,\pi R_1^2.

Passo 5

Cálculo da indutância mútua M.
  • Usando a definição M=\dfrac{\Phi_{1\leftarrow2}^{\text{(total)}}}{I_2} obtemos
M=\frac{(n_1 d)\,(\mu_0\, n_2\, I_2)\,\pi R_1^2}{I_2} =\mu_0\, n_1\, n_2\,\pi R_1^2\, d.
  • Comentário físico: M é proporcional à área comum das espiras (a área do solenóide menor \pi R_1^2), às densidades de espira de ambos e ao comprimento de sobreposição d. A expressão é simétrica em n_1 e n_2, como deve ser.

Passo 6

Fluxo na seção do solenóide maior quando o solenóide finito é percorrido por corrente I (usando reciprocidade).
  • Precisamos interpretar “fluxo na seção do solenóide maior”: normalmente isto significa o fluxo que atravessa uma única espira (ou a área circular) do solenóide maior. Vamos calcular o fluxo por espira do solenóide maior devido à corrente I no solenóide menor.
  • Pelo teorema da reciprocidade da indutância mútua, M é o mesmo independentemente de qual corrente gerou o fluxo. Então:
    • O fluxo total ligado ao trecho do solenóide maior que está sobreposto ao solenóide menor (comprimento d) devido à corrente I_1=I no solenóide menor é \Phi^{\text{(total)}}_{2\leftarrow1}=M\,I.
    • O número de espiras desse trecho do solenóide maior é N_2 = n_2 d. Assim o fluxo por espira (ou fluxo na seção do solenóide maior) é
\Phi_{\text{por espira no maior}}=\frac{\Phi^{\text{(total)}}_{2\leftarrow1}}{N_2}=\frac{M\,I}{n_2 d}.
  • Substituindo M encontrado:
\Phi_{\text{por espira no maior}}=\frac{\big(\mu_0\, n_1\, n_2\,\pi R_1^2\, d\big)\,I}{n_2 d} =\mu_0\, n_1\,\pi R_1^2\, I.
  • Observação intuitiva: o fluxo por espira do solenóide maior é igual à área \pi R_1^2 vezes o campo axial médio que as espiras do solenóide menor produzem na região interior a R_1. A expressão acima dá exatamente isso.

Passo 7

Resumo das fórmulas finais e checagem rápida de consistência.
  • Indutância mútua:
M=\mu_0\, n_1\, n_2\,\pi R_1^2\, d.
  • Fluxo magnético na seção (por espira) do solenóide maior quando o solenóide finito transporta corrente I:
\Phi=\mu_0\, n_1\,\pi R_1^2\, I.
  • Checagem de dimensões: \mu_0 (H/m) × n_1 (1/m) × \pi R_1^2 (m^2) × d (m) dá henry (H) para M — consistente. Para \Phi: \mu_0 n_1 \pi R_1^2 I tem unidades de (H/m × 1/m × m^2 × A) = weber (Wb) — consistente com fluxo.

Resposta

M=\mu_0\, n_1\, n_2\,\pi R_1^2\, d
\Phi=\mu_0\, n_1\,\pi R_1^2\, I

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