Calcule a energia média
por modo de oscilação para um comprimento de onda relativamente pequeno,
, e compare os resultados com o valor clássico,
. (O valor clássico é uma consequência do teorema da equipartição, que será discutido no Capítulo 8.)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcularmos a energia média
por modo de oscilação para um comprimento de onda pequeno, dado por
, e depois comparar esse resultado com o valor clássico, que é
. Para isso, vamos precisar usar conceitos de mecânica estatística e física quântica, especialmente a relação entre energia, frequência e comprimento de onda.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que, em mecânica quântica, a energia de um modo de oscilação (como um fóton) é dada por:
onde
é a constante de Planck e
é a frequência da oscilação.
Passo 3
Sabemos também que a frequência
está relacionada ao comprimento de onda
pela equação:
onde
é a velocidade da luz. Podemos rearranjar essa equação para encontrar
:
Passo 4
Agora, substituímos essa expressão de
na fórmula da energia:
Mas o exercício nos dá que
. Vamos substituir
nessa equação:
Passo 5
Então, a energia média
por modo de oscilação para esse comprimento de onda pequeno é de
.
Passo 6
Agora, vamos comparar isso com o valor clássico, que é
. Vemos que a energia média calculada no contexto quântico (
) é 10 vezes maior do que o valor clássico previsto pelo teorema da equipartição (
). Isso mostra que, para comprimentos de onda pequenos (ou seja, altas energias), os efeitos quânticos tornam a energia média por modo de oscilação significativamente diferente do que a teoria clássica prevê.
Resposta
A energia média por modo de oscilação para o comprimento de onda dado é
, que é 10 vezes maior que o valor clássico
.