Calcule a energia média barE por modo de oscilação para um comprimento de onda relativamente pequeno, lambda=0,1 h c / k T, e compare os resultados com o valor clássico, k T. (O valor clássico é uma consequência do teorema da equipartição, que será discutido no Capítulo 8.)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcularmos a energia média barE por modo de oscilação para um comprimento de onda pequeno, dado por lambda = 0,1 h ck T, e depois comparar esse resultado com o valor clássico, que é k T. Para isso, vamos precisar usar conceitos de mecânica estatística e física quântica, especialmente a relação entre energia, frequência e comprimento de onda.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que, em mecânica quântica, a energia de um modo de oscilação (como um fóton) é dada por:
E = h nu
onde h é a constante de Planck e nu é a frequência da oscilação.

Passo 3

Sabemos também que a frequência nu está relacionada ao comprimento de onda lambda pela equação:
c = lambda nu
onde c é a velocidade da luz. Podemos rearranjar essa equação para encontrar nu:
nu = clambda

Passo 4

Agora, substituímos essa expressão de nu na fórmula da energia:
E = h clambda
Mas o exercício nos dá que lambda = 0,1 h ck T. Vamos substituir lambda nessa equação:
E = h c0,1 h ck T = h c0,1 h ck T = h c0,1 h c cdot k T = 10,1 k T = 10 k T

Passo 5

Então, a energia média barE por modo de oscilação para esse comprimento de onda pequeno é de 10 k T.

Passo 6

Agora, vamos comparar isso com o valor clássico, que é k T. Vemos que a energia média calculada no contexto quântico ( 10 k T) é 10 vezes maior do que o valor clássico previsto pelo teorema da equipartição ( k T). Isso mostra que, para comprimentos de onda pequenos (ou seja, altas energias), os efeitos quânticos tornam a energia média por modo de oscilação significativamente diferente do que a teoria clássica prevê.

Resposta

A energia média por modo de oscilação para o comprimento de onda dado é 10, k T, que é 10 vezes maior que o valor clássico k T.

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