Qual é a diferença de potencial entre as posições rA=(i-2 j) m e rB=(2 i+j+3 k) m num campo elétrico não uniforme com E=(2 x i-3 y^2 j) N / C ?

Passo 1

Beleza, aqui o exercício pede pra gente achar a diferença de potencial elétrica entre dois pontos A e B num campo não uniforme
E(x,y,z)=2x,hatimath;-;3y^2,hat jmath (N/C)
com
vec rA=(1hatimath-2hatjmath),m, vec rB=(2hatimath+1hatjmath+3hat k),m
Isso cai em eletrostática de campo conservativo e potencial elétrico: a gente vai usar
De
ou então achar diretamente a função escalar com .

Passo 2

Primeiro a gente confirma que nablatimes vec E = hatimath & hatjmath & hat k partialx & partialy & partialz 2x & -3y^2 & 0 =l(0,0,partialx(-3y^2)-partialy(2x)r) =(0,0,0) é conservativo (pra existir potencial único). Calcula o rotacional:
Ex=-partial Vpartial x=2x Longrightarrow partial Vpartial x=-2x
Como o rotacional é zero, dá pra achar V(x,y,z)=-integral 2x,dx = -x^2 + f(y,z) tal que Ey=-partial Vpartial y=-3y^2 Longrightarrow partial Vpartial y=3y^2 . Escrevendo
partial fpartial y=3y^2 ;Longrightarrow; f(y,z)=integral 3y^2,dy = y^3 + g(z)
integramos em boxedV(x,y,z) = -x^2 + y^3 + C :
Agora usamos a componente :
Como ,
E como , vemos que e então é constante.
Logo, podemos tomar

Passo 3

Calcular V(A)=-1^2+(-2)^3 = -1 -8 = -9;(V) em A e em B (constante V(B)=-2^2+1^3 = -4 +1 = -3;(V) some na diferença):
Para A: ,
Para B: ,

Resposta

A diferença de potencial entre B e A é
De

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