Mostre que o campo elétrico necessário para fazer o tempo de subida de uma gota de óleo igual ao tempo de descida no experimento de Millikan é
.
Passo 1
Então, a gente tem um exercício do experimento de Millikan, que envolve gotas de óleo e campos elétricos. A questão pede para mostrar que o campo elétrico necessário para que o tempo que a gota leva para subir seja igual ao tempo que ela leva para descer é dado por
. Para resolver isso, vamos precisar entender as forças que atuam na gota e como elas influenciam o movimento dela.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar quais forças estão agindo na gota de óleo. Quando a gota está descendo sem campo elétrico, ela é puxada para baixo pela força da gravidade, que é
, onde
é a massa da gota e
é a aceleração da gravidade. Ao mesmo tempo, há uma força de arrasto para cima devido à viscosidade do ar, mas no equilíbrio terminal (quando a velocidade é constante), essas forças se equilibram.
Passo 3
Agora, vamos considerar o caso quando aplicamos um campo elétrico
na direção vertical. O campo elétrico exerce uma força na gota de óleo carregada, que é
, onde
é a carga da gota. Dependendo da direção do campo, essa força pode puxar a gota para cima ou para baixo.
Passo 4
Queremos que o tempo que a gota leva para subir seja igual ao tempo que leva para descer. Isso significa que as forças que agem na subida e na descida devem se equilibrar de forma que a aceleração e a velocidade terminal sejam as mesmas em módulo.
Passo 5
Vamos analisar a subida. Para a gota subir, a força elétrica deve superar a força da gravidade. Portanto, temos:
Como estamos no equilíbrio terminal,
durante a subida é igual a
.
Passo 6
Para a descida, a gota só é afetada pela gravidade e pela força de arrasto:
Isso nos diz que a força de arrasto durante a descida equilibra exatamente a força da gravidade.
Passo 7
Queremos que os tempos de subida e descida sejam iguais, o que implica que as forças totais atuando nas duas situações devem ser tais que a aceleração e a velocidade final sejam as mesmas em módulo. Comparando as equações das forças:
Para subida:
Passo 8
Agora, basta isolar o campo elétrico
:
Resposta
O campo elétrico necessário é
.