Mostre que o campo elétrico necessário para fazer o tempo de subida de uma gota de óleo igual ao tempo de descida no experimento de Millikan é mathscrE=2 mg / q.

Passo 1

Então, a gente tem um exercício do experimento de Millikan, que envolve gotas de óleo e campos elétricos. A questão pede para mostrar que o campo elétrico necessário para que o tempo que a gota leva para subir seja igual ao tempo que ela leva para descer é dado por mathscrE = 2 mgq. Para resolver isso, vamos precisar entender as forças que atuam na gota e como elas influenciam o movimento dela.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar quais forças estão agindo na gota de óleo. Quando a gota está descendo sem campo elétrico, ela é puxada para baixo pela força da gravidade, que é Fg = mg, onde m é a massa da gota e g é a aceleração da gravidade. Ao mesmo tempo, há uma força de arrasto para cima devido à viscosidade do ar, mas no equilíbrio terminal (quando a velocidade é constante), essas forças se equilibram.

Passo 3

Agora, vamos considerar o caso quando aplicamos um campo elétrico mathscrE na direção vertical. O campo elétrico exerce uma força na gota de óleo carregada, que é Fe = qmathscrE, onde q é a carga da gota. Dependendo da direção do campo, essa força pode puxar a gota para cima ou para baixo.

Passo 4

Queremos que o tempo que a gota leva para subir seja igual ao tempo que leva para descer. Isso significa que as forças que agem na subida e na descida devem se equilibrar de forma que a aceleração e a velocidade terminal sejam as mesmas em módulo.

Passo 5

Vamos analisar a subida. Para a gota subir, a força elétrica deve superar a força da gravidade. Portanto, temos:
qmathscrE = mg + Farrasto
Como estamos no equilíbrio terminal, Farrasto durante a subida é igual a qmathscrE - mg.

Passo 6

Para a descida, a gota só é afetada pela gravidade e pela força de arrasto:
mg = Farrasto
Isso nos diz que a força de arrasto durante a descida equilibra exatamente a força da gravidade.

Passo 7

Queremos que os tempos de subida e descida sejam iguais, o que implica que as forças totais atuando nas duas situações devem ser tais que a aceleração e a velocidade final sejam as mesmas em módulo. Comparando as equações das forças:
Para subida:
qmathscrE = mg + mg = 2mg

Passo 8

Agora, basta isolar o campo elétrico mathscrE:
mathscrE = 2mgq

Resposta

O campo elétrico necessário é mathscrE = dfrac2 mgq.

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