Avalie as seguintes integrais:
\int_{1}^{2}\left(3 t^{2}+1\right) \delta(t) d t

Passo 1

O enunciado pede para avaliar a integral
\int_{1}^{2}\left(3 t^{2}+1\right)\delta(t)\,dt.
Informações dadas:
  • O integrando é a função f(t)=3t^{2}+1 multiplicada pela distribuição de Dirac \delta(t).
  • Os limites de integração são t=1 até t=2.
  • A pergunta é: qual o valor numérico dessa integral?

Passo 2

Entender o que é \delta(t) de forma prática. A distribuição de Dirac \delta(t) tem duas propriedades essenciais que usamos em integrais:
  1. \delta(t)=0 para todo t\neq0.
  2. \displaystyle \int_{-\infty}^{\infty}\delta(t)\,dt=1.
    A partir dessas propriedades vem a propriedade de “peneiração” (sifting): para uma função contínua g(t),
\int_{a}^{b} g(t)\,\delta(t-t_0)\,dt= \begin{cases} g(t_0), & \text{se } t_0\in[a,b],\\[4pt] 0, & \text{se } t_0\notin[a,b]. \end{cases}]

Passo 3

Aplicando a propriedade ao nosso caso: note que \delta(t)=\delta(t-0). Então, com g(t)=3t^{2}+1 e t_0=0,
\int_{1}^{2}\left(3 t^{2}+1\right)\delta(t)\,dt = \begin{cases} \left(3\cdot 0^{2}+1\right), & \text{se } 0\in[1,2],\\[4pt] 0, & \text{se } 0\notin[1,2]. \end{cases}]

Passo 4

Verificar se t_0=0 está dentro do intervalo de integração [1,2]. Claramente 0\notin[1,2], porque 0<1.
Conclusão direta pela propriedade: como o ponto de suporte da \delta (que é t=0) NÃO está no intervalo de integração, a integral é zero. Uma maneira intutiva de ver: \delta(t) “concentraria” toda a contribuição em t=0; se o intervalo não contém 0, não há contribuição.

Passo 5

Como comentário útil para a prova: se o intervalo fosse, por exemplo, [-1,1], então
\int_{-1}^{1}\left(3 t^{2}+1\right)\delta(t)\,dt = 3\cdot 0^{2}+1 = 1.
Isso ilustra a aplicação direta da propriedade de peneiração.

Resposta

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