Avalie as seguintes integrais:
Passo 1
O enunciado pede para avaliar a integral
Informações dadas:
- O integrando é a função
multiplicada pela distribuição de Dirac . - Os limites de integração são
até . - A pergunta é: qual o valor numérico dessa integral?
Passo 2
Entender o que é
de forma prática. A distribuição de Dirac
tem duas propriedades essenciais que usamos em integrais:
-
para todo . -
.
A partir dessas propriedades vem a propriedade de “peneiração” (sifting): para uma função contínua,
Passo 3
Aplicando a propriedade ao nosso caso: note que
. Então, com
e
,
Passo 4
Verificar se
está dentro do intervalo de integração
. Claramente
, porque
.
Conclusão direta pela propriedade: como o ponto de suporte da (que é
) NÃO está no intervalo de integração, a integral é zero. Uma maneira intutiva de ver:
“concentraria” toda a contribuição em
; se o intervalo não contém
, não há contribuição.
Conclusão direta pela propriedade: como o ponto de suporte da
Passo 5
Como comentário útil para a prova: se o intervalo fosse, por exemplo,
, então
Isso ilustra a aplicação direta da propriedade de peneiração.