Calcule a energia potencial de uma esfera de raio
, uniformemente carregada com densidade de carga
, do ponto de vista do campo.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a energia potencial (energia eletrostática de auto-interação) de uma esfera de raio
, carregada uniformemente com densidade volumétrica de carga
, usando a formulação via campo elétrico.
Informações fornecidas:
Informações fornecidas:
- Raio da esfera:
. - Densidade volumétrica de carga (constante dentro da esfera):
. - A esfera ocupa
e não há carga fora dela. - Deseja-se a energia total armazenada no campo elétrico gerado por essa distribuição.
Passo 2
Determinar o campo elétrico
devido à distribuição de carga (passo necessário para usar a expressão de energia em termos de
). Vou usar a Lei de Gauss para uma distribuição esférica e simétrica. A Lei de Gauss (em forma integral) diz:
onde
é a permissividade elétrica do vácuo,
é a carga total dentro da superfície fechada
, e o lado esquerdo é o fluxo do campo elétrico pela superfície. Para uma superfície esférica centrada na distribuição,
é radial e constante em módulo na superfície, então:
Aqui
é a coordenada radial (distância ao centro). Agora calculo
em dois casos:
- Para
: a carga encerrada é a carga de uma esfera de raio com densidade :
- Para
: a carga encerrada é a carga total da esfera (que chamarei de ):
Passo 3
Obter explicitamente
dentro e fora da esfera usando as expressões de
.
- Para
:
Explicação:
cresce linearmente com
dentro da esfera porque a carga efetiva cresce como
enquanto a área gaussiana cresce como
.
- Para
:
Explicação: fora da esfera o campo é idêntico ao de uma carga pontual
concentrada no centro.
Passo 4
Apresentar a fórmula para a energia do campo e explicar suas variáveis. A energia eletrostática total armazenada no campo é
onde
é o elemento de volume e a integral é feita sobre todo o espaço (porque o campo existe tanto dentro quanto fora da esfera). Aqui:
-
é a permissividade do vácuo; -
é o módulo do campo já calculado; - Para simetria esférica,
.
Vou separar a integral em duas partes:
(dentro) e
(fora):
Passo 5
Calcular a contribuição interna (
). Substituo
:
Então o integrando é
Integro de
a
:
Passo 6
Calcular a contribuição externa (
). Substituo
com
. Primeiro escrevo
:
O integrando na expressão da energia fica
Integro de
a
:
Agora substituo
para escrever em termos de
:
Portanto
Passo 7
Somar as contribuições interna e externa:
Coloco em denominador comum
:
Simplificando por
:
Passo 8
Expressar a resposta também em função da carga total
(forma comum nas referências). Usando
, substituo em
:
Substituindo em
:
Reconhecendo
(constante de Coulomb), pode-se escrever de forma compacta:
Isso coincide com a forma frequente encontrada em livros: energia da esfera uniformemente carregada (distribuição volumétrica).