Calcule a energia potencial de uma esfera de raio a, uniformemente carregada com densidade de carga \rho_{0}, do ponto de vista do campo.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a energia potencial (energia eletrostática de auto-interação) de uma esfera de raio a, carregada uniformemente com densidade volumétrica de carga \rho_{0}, usando a formulação via campo elétrico.
Informações fornecidas:
  • Raio da esfera: a.
  • Densidade volumétrica de carga (constante dentro da esfera): \rho_{0}.
  • A esfera ocupa 0\le r\le a e não há carga fora dela.
  • Deseja-se a energia total armazenada no campo elétrico gerado por essa distribuição.

Passo 2

Determinar o campo elétrico \mathbf{E}(r) devido à distribuição de carga (passo necessário para usar a expressão de energia em termos de E^2). Vou usar a Lei de Gauss para uma distribuição esférica e simétrica. A Lei de Gauss (em forma integral) diz:
\oint_{S} \mathbf{E}\cdot d\mathbf{A}=\frac{Q_{\text{int}}}{\epsilon_{0}},
onde \epsilon_{0} é a permissividade elétrica do vácuo, Q_{\text{int}} é a carga total dentro da superfície fechada S, e o lado esquerdo é o fluxo do campo elétrico pela superfície. Para uma superfície esférica centrada na distribuição, \mathbf{E} é radial e constante em módulo na superfície, então:
E(r)\,4\pi r^{2}=\frac{Q_{\text{int}}(r)}{\epsilon_{0}}.
Aqui r é a coordenada radial (distância ao centro). Agora calculo Q_{\text{int}}(r) em dois casos:
  • Para r<a: a carga encerrada é a carga de uma esfera de raio r com densidade \rho_{0}:
Q_{\text{int}}(r)=\rho_{0}\cdot \frac{4}{3}\pi r^{3}.
  • Para r\ge a: a carga encerrada é a carga total da esfera (que chamarei de Q):
Q=\rho_{0}\cdot \frac{4}{3}\pi a^{3}.

Passo 3

Obter explicitamente E(r) dentro e fora da esfera usando as expressões de Q_{\text{int}}.
  • Para 0\le r<a:
E(r)=\frac{1}{4\pi\epsilon_{0}}\frac{Q_{\text{int}}(r)}{r^{2}} =\frac{1}{4\pi\epsilon_{0}}\frac{\rho_{0}\,\tfrac{4}{3}\pi r^{3}}{r^{2}} =\frac{\rho_{0}\,r}{3\epsilon_{0}}.
Explicação: E(r) cresce linearmente com r dentro da esfera porque a carga efetiva cresce como r^{3} enquanto a área gaussiana cresce como r^{2}.
  • Para r\ge a:
E(r)=\frac{1}{4\pi\epsilon_{0}}\frac{Q}{r^{2}} =\frac{1}{4\pi\epsilon_{0}}\frac{\rho_{0}\,\tfrac{4}{3}\pi a^{3}}{r^{2}} =\frac{\rho_{0}\,a^{3}}{3\epsilon_{0}}\frac{1}{r^{2}}.
Explicação: fora da esfera o campo é idêntico ao de uma carga pontual Q concentrada no centro.

Passo 4

Apresentar a fórmula para a energia do campo e explicar suas variáveis. A energia eletrostática total armazenada no campo é
U=\frac{\epsilon_{0}}{2}\int_{\text{tudo}} E^{2}\,dV,
onde dV é o elemento de volume e a integral é feita sobre todo o espaço (porque o campo existe tanto dentro quanto fora da esfera). Aqui:
  • \epsilon_{0} é a permissividade do vácuo;
  • E(r) é o módulo do campo já calculado;
  • Para simetria esférica, dV=4\pi r^{2}dr.
Vou separar a integral em duas partes: 0\le r\le a (dentro) e a\le r<\infty (fora):
U=\frac{\epsilon_{0}}{2}\left(\int_{0}^{a} E^{2}(r)\,4\pi r^{2}dr + \int_{a}^{\infty} E^{2}(r)\,4\pi r^{2}dr\right).

Passo 5

Calcular a contribuição interna ( 0\le r\le a). Substituo E(r)=\dfrac{\rho_{0}r}{3\epsilon_{0}}:
E^{2}(r)=\frac{\rho_{0}^{2} r^{2}}{9\epsilon_{0}^{2}}.
Então o integrando é
\frac{\epsilon_{0}}{2}\,4\pi r^{2}\cdot \frac{\rho_{0}^{2} r^{2}}{9\epsilon_{0}^{2}} = \frac{2\pi \rho_{0}^{2}}{9\epsilon_{0}}\, r^{4}.
Integro de 0 a a:
U_{\text{int}}=\int_{0}^{a} \frac{2\pi \rho_{0}^{2}}{9\epsilon_{0}}\, r^{4}\,dr = \frac{2\pi \rho_{0}^{2}}{9\epsilon_{0}}\cdot \frac{a^{5}}{5} = \frac{2\pi \rho_{0}^{2} a^{5}}{45\epsilon_{0}}.

Passo 6

Calcular a contribuição externa ( a\le r<\infty). Substituo E(r)=\dfrac{Q}{4\pi\epsilon_{0} r^{2}} com Q=\dfrac{4}{3}\pi a^{3}\rho_{0}. Primeiro escrevo E^{2}:
E^{2}(r)=\frac{Q^{2}}{16\pi^{2}\epsilon_{0}^{2} r^{4}}.
O integrando na expressão da energia fica
\frac{\epsilon_{0}}{2}\,4\pi r^{2}\cdot \frac{Q^{2}}{16\pi^{2}\epsilon_{0}^{2} r^{4}} = \frac{Q^{2}}{8\pi \epsilon_{0}}\,\frac{1}{r^{2}}.
Integro de a a \infty:
U_{\text{ext}}=\int_{a}^{\infty} \frac{Q^{2}}{8\pi \epsilon_{0}}\,\frac{1}{r^{2}}\,dr = \frac{Q^{2}}{8\pi \epsilon_{0}}\left[\,-\frac{1}{r}\right]_{a}^{\infty} = \frac{Q^{2}}{8\pi \epsilon_{0}}\cdot\frac{1}{a}.
Agora substituo Q=\dfrac{4}{3}\pi a^{3}\rho_{0} para escrever em termos de \rho_{0}:
Q^{2}=\left(\frac{4}{3}\pi a^{3}\rho_{0}\right)^{2}=\frac{16}{9}\pi^{2} a^{6}\rho_{0}^{2}.
Portanto
U_{\text{ext}}=\frac{1}{8\pi \epsilon_{0} a}\cdot \frac{16}{9}\pi^{2} a^{6}\rho_{0}^{2} = \frac{2\pi \rho_{0}^{2} a^{5}}{9\epsilon_{0}}.

Passo 7

Somar as contribuições interna e externa:
U=U_{\text{int}}+U_{\text{ext}} =\frac{2\pi \rho_{0}^{2} a^{5}}{45\epsilon_{0}}+\frac{2\pi \rho_{0}^{2} a^{5}}{9\epsilon_{0}}.
Coloco em denominador comum 45:
U=\frac{2\pi \rho_{0}^{2} a^{5}}{45\epsilon_{0}}\left(1+5\right) =\frac{2\pi \rho_{0}^{2} a^{5}}{45\epsilon_{0}}\cdot 6 =\frac{12\pi \rho_{0}^{2} a^{5}}{45\epsilon_{0}}.
Simplificando por 3:
U=\frac{4\pi \rho_{0}^{2} a^{5}}{15\epsilon_{0}}.

Passo 8

Expressar a resposta também em função da carga total Q (forma comum nas referências). Usando Q=\dfrac{4}{3}\pi a^{3}\rho_{0}, substituo em U:
\rho_{0}=\frac{3Q}{4\pi a^{3}},\qquad \rho_{0}^{2}=\frac{9Q^{2}}{16\pi^{2} a^{6}}.
Substituindo em U=\dfrac{4\pi \rho_{0}^{2} a^{5}}{15\epsilon_{0}}:
U=\frac{4\pi}{15\epsilon_{0}}\cdot \frac{9Q^{2}}{16\pi^{2} a^{6}}\cdot a^{5} = \frac{9Q^{2}}{60\pi \epsilon_{0} a} = \frac{3Q^{2}}{20\pi \epsilon_{0} a}.
Reconhecendo k=\dfrac{1}{4\pi\epsilon_{0}} (constante de Coulomb), pode-se escrever de forma compacta:
U=\frac{3}{5}\,k\frac{Q^{2}}{a}.
Isso coincide com a forma frequente encontrada em livros: energia da esfera uniformemente carregada (distribuição volumétrica).

Resposta

U=\frac{4\pi \rho_{0}^{2} a^{5}}{15\epsilon_{0}}
U=\frac{3}{5}\,k\frac{Q^{2}}{a}=\frac{3Q^{2}}{20\pi\epsilon_{0} a}

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