Calcule a energia potencial de uma esfera de raio a, carregada uniformemente com densidade de carga \rho_{0}.

Passo 1

O enunciado pede: calcular a energia potencial eletrostática (energia de auto-repulsão) de uma esfera de raio a carregada uniformemente com densidade volumétrica de carga \rho_{0}.
Informações dadas e definições imediatas:
  • Raio da esfera: a.
  • Densidade volumétrica de carga (uniforme): \rho_{0}.
  • Carga total da esfera (definição que será útil):
Q=\rho_{0}\cdot \text{(volume da esfera)}=\rho_{0}\cdot \frac{4}{3}\pi a^{3}.
A tarefa é encontrar a energia potencial elétrica armazenada nesse arranjo de carga, expressa em função de \rho_{0} e a (ou em função de Q e a).

Passo 2

Ideia física e fórmula útil: energia eletrostática total pode ser obtida integrando a densidade de energia do campo elétrico sobre todo o espaço. A densidade de energia do campo elétrico (no vácuo) é
u(\mathbf{r})=\frac{\varepsilon_{0}}{2}\,E^{2}(\mathbf{r}),
onde \varepsilon_{0} é a permissividade do vácuo e E(\mathbf{r}) é o módulo do campo elétrico em \mathbf{r}. A energia total é
U=\int_{\text{todo espaço}} u(\mathbf{r})\,dV=\frac{\varepsilon_{0}}{2}\int_{0}^{\infty} E^{2}(r)\,4\pi r^{2}\,dr,ç
pois a configuração é esférica e o campo depende só de r. Vou explicar como calcular E(r) antes de integrar.

Passo 3

Cálculo do campo elétrico usando a Lei de Gauss (explicação didática):
  • A Lei de Gauss em forma integral diz que para uma superfície fechada \mathcal{S},
\oint_{\mathcal{S}} \mathbf{E}\cdot d\mathbf{A}=\frac{Q_{\text{int}}}{\varepsilon_{0}},
onde Q_{\text{int}} é a carga total dentro da superfície.
  • Para simetria esférica, escolhe-se superfície gaussiana esférica de raio r. Então \mathbf{E} é radial e constante na superfície, e \oint \mathbf{E}\cdot d\mathbf{A}=E(r)\,4\pi r^{2}.
  • Assim E(r)=\dfrac{Q_{\text{int}}}{4\pi\varepsilon_{0} r^{2}}, onde Q_{\text{int}} é a carga dentro do raio r.
Agora obtenha Q_{\text{int}} em duas regiões:
  • Para r\ge a (fora da esfera): toda a carga está dentro, então Q_{\text{int}}=Q=\rho_{0}\dfrac{4}{3}\pi a^{3}.
  • Para r<a (dentro da esfera): a carga dentro do raio r é a densidade vezes o volume de raio r:
Q_{r}=\rho_{0}\cdot \frac{4}{3}\pi r^{3}=Q\cdot\frac{r^{3}}{a^{3}}.

Passo 4

Expressões finais para o campo elétrico (resumindo e explicando as variáveis):
  • Para 0\le r<a (interior):
E(r)=\frac{Q_{r}}{4\pi\varepsilon_{0} r^{2}}=\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\frac{\rho_{0}\,\tfrac{4}{3}\pi r^{3}}{r^{2}} =\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\frac{Q\,r}{a^{3}}.
Aqui Q é a carga total definida no Passo 1; a expressão mais explícita em \rho_{0} é
E(r)=\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\frac{\rho_{0}\,\tfrac{4}{3}\pi r}{1} =\frac{\rho_{0}\,r}{3\varepsilon_{0}}.
(A segunda forma vem de simplificar \frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\cdot\frac{4}{3}\pi=\frac{1}{3\varepsilon_{0}}.)
  • Para r\ge a (externo):
E(r)=\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\frac{Q}{r^{2}}.

Passo 5

Montagem da integral para a energia total, dividindo espaço em interior e exterior:
U=\frac{\varepsilon_{0}}{2}\left(\int_{0}^{a} E^{2}(r)\,4\pi r^{2}\,dr + \int_{a}^{\infty} E^{2}(r)\,4\pi r^{2}\,dr\right).
Vou calcular cada integral separadamente, substituindo E(r) das expressões do Passo 4.

Passo 6

Cálculo da contribuição interna U_{\text{in}} (passo a passo, sem pular contas):
  • Usando a forma em termos de Q: para 0\le r<a,
E(r)=\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\frac{Q\,r}{a^{3}}.
  • Então
E^{2}(r)=\frac{Q^{2} r^{2}}{(4\pi\varepsilon_{0})^{2} a^{6}}.
  • O elemento de energia integrado é
\frac{\varepsilon_{0}}{2}\,4\pi r^{2} E^{2}(r) =2\pi\varepsilon_{0}\frac{Q^{2} r^{2}}{(4\pi\varepsilon_{0})^{2} a^{6}}\,r^{2} =\frac{Q^{2}}{8\pi\varepsilon_{0} a^{6}}\,r^{4}.
(Explicação rápida das simplificações: 2\pi\varepsilon_{0}/(4\pi\varepsilon_{0})^{2} = 2\pi\varepsilon_{0}/(16\pi^{2}\varepsilon_{0}^{2})=1/(8\pi\varepsilon_{0}).)
  • Integramos de 0 a a:
U_{\text{in}}=\int_{0}^{a}\frac{Q^{2}}{8\pi\varepsilon_{0} a^{6}}\,r^{4}\,dr =\frac{Q^{2}}{8\pi\varepsilon_{0} a^{6}}\cdot\left[\frac{r^{5}}{5}\right]_{0}^{a} =\frac{Q^{2}}{8\pi\varepsilon_{0} a^{6}}\cdot\frac{a^{5}}{5} =\frac{Q^{2}}{40\pi\varepsilon_{0} a}.

Passo 7

Cálculo da contribuição externa U_{\text{out}} (passo a passo):
  • Para r\ge a,
E(r)=\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\frac{Q}{r^{2}}, \qquad E^{2}(r)=\frac{Q^{2}}{(4\pi\varepsilon_{0})^{2} r^{4}}.
  • O integrando da densidade de energia é
\frac{\varepsilon_{0}}{2}\,4\pi r^{2} E^{2}(r) =2\pi\varepsilon_{0}\frac{Q^{2}}{(4\pi\varepsilon_{0})^{2} r^{4}}\,r^{2} =\frac{Q^{2}}{8\pi\varepsilon_{0}}\cdot\frac{1}{r^{2}}.
  • Integramos de a a \infty:
U_{\text{out}}=\frac{Q^{2}}{8\pi\varepsilon_{0}}\int_{a}^{\infty}\frac{1}{r^{2}}\,dr =\frac{Q^{2}}{8\pi\varepsilon_{0}}\left[-\frac{1}{r}\right]_{a}^{\infty} =\frac{Q^{2}}{8\pi\varepsilon_{0}}\cdot\frac{1}{a} =\frac{Q^{2}}{8\pi\varepsilon_{0} a}.

Passo 8

Somando as contribuições interna e externa e simplificando:
U=U_{\text{in}}+U_{\text{out}} =\frac{Q^{2}}{40\pi\varepsilon_{0} a}+\frac{Q^{2}}{8\pi\varepsilon_{0} a}.
Colocando em denominador comum 40\pi\varepsilon_{0} a:
U=\frac{Q^{2}}{40\pi\varepsilon_{0} a}\left(1+5\right) =\frac{6Q^{2}}{40\pi\varepsilon_{0} a} =\frac{3Q^{2}}{20\pi\varepsilon_{0} a}.
Reescrevendo usando k=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_{0}} (constante de Coulomb) obtém-se a forma frequentemente encontrada na literatura:
U=\frac{3}{5}\,\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\,\frac{Q^{2}}{a} =\frac{3}{5}\,k\,\frac{Q^{2}}{a}.

Passo 9

Expressão em termos de \rho_{0} e a (substituindo Q=\rho_{0}\tfrac{4}{3}\pi a^{3}), com as contas mostradas:
  • Primeiro calcule Q^{2}=\rho_{0}^{2}\left(\tfrac{4}{3}\pi a^{3}\right)^{2}=\rho_{0}^{2}\cdot\frac{16}{9}\pi^{2} a^{6}.
  • Substituindo em U=\dfrac{3Q^{2}}{20\pi\varepsilon_{0} a}:
U=\frac{3}{20\pi\varepsilon_{0} a}\cdot \rho_{0}^{2}\cdot\frac{16}{9}\pi^{2} a^{6}.
  • Simplificando fatores numéricos e de \pi e a:
U=\rho_{0}^{2} a^{5}\cdot\frac{3\cdot 16\pi^{2}}{20\cdot 9\pi\varepsilon_{0}} =\rho_{0}^{2} a^{5}\cdot\frac{16\pi}{60\varepsilon_{0}} =\rho_{0}^{2} a^{5}\cdot\frac{4\pi}{15\varepsilon_{0}}.
Portanto uma forma conveniente em termos de \rho_{0} e a é
U=\frac{4\pi}{15\varepsilon_{0}}\,\rho_{0}^{2}\,a^{5}.

Passo 10

Breve verificação e interpretação (motivacional): o resultado mostra que a energia cresce com a^{5} quando a densidade \rho_{0} é fixa (mais volume significa mais energia), e em termos da carga total Q a dependência é U\propto Q^{2}/a — intuitivamente, para uma mesma carga total, comprimir a carga (diminuir a) aumenta a energia por causa da maior repulsão. Bom trabalho — já é um resultado clássico e muito útil em eletrostática!

Resposta

\displaystyle U=\frac{3}{5}\,\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\,\frac{Q^{2}}{a}
\displaystyle U=\frac{4\pi}{15\varepsilon_{0}}\,\rho_{0}^{2}\,a^{5}

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