Calcule a energia potencial de uma esfera de raio
, carregada uniformemente com densidade de carga
.
Passo 1
O enunciado pede: calcular a energia potencial eletrostática (energia de auto-repulsão) de uma esfera de raio
carregada uniformemente com densidade volumétrica de carga
.
Informações dadas e definições imediatas:
- Raio da esfera:
. - Densidade volumétrica de carga (uniforme):
. - Carga total da esfera (definição que será útil):
A tarefa é encontrar a energia potencial elétrica armazenada nesse arranjo de carga, expressa em função de
e
(ou em função de
e
).
Passo 2
Ideia física e fórmula útil: energia eletrostática total pode ser obtida integrando a densidade de energia do campo elétrico sobre todo o espaço. A densidade de energia do campo elétrico (no vácuo) é
onde
é a permissividade do vácuo e
é o módulo do campo elétrico em
. A energia total é
pois a configuração é esférica e o campo depende só de
. Vou explicar como calcular
antes de integrar.
Passo 3
Cálculo do campo elétrico usando a Lei de Gauss (explicação didática):
- A Lei de Gauss em forma integral diz que para uma superfície fechada
,
onde
é a carga total dentro da superfície.
- Para simetria esférica, escolhe-se superfície gaussiana esférica de raio
. Então é radial e constante na superfície, e . - Assim
, onde é a carga dentro do raio .
Agora obtenha
em duas regiões:
- Para
(fora da esfera): toda a carga está dentro, então . - Para
(dentro da esfera): a carga dentro do raio é a densidade vezes o volume de raio :
Passo 4
Expressões finais para o campo elétrico (resumindo e explicando as variáveis):
- Para
(interior):
Aqui
é a carga total definida no Passo 1; a expressão mais explícita em
é
(A segunda forma vem de simplificar
.)
- Para
(externo):
Passo 5
Montagem da integral para a energia total, dividindo espaço em interior e exterior:
Vou calcular cada integral separadamente, substituindo
das expressões do Passo 4.
Passo 6
Cálculo da contribuição interna
(passo a passo, sem pular contas):
- Usando a forma em termos de
: para ,
- Então
- O elemento de energia integrado é
(Explicação rápida das simplificações:
.)
- Integramos de
a :
Passo 7
Cálculo da contribuição externa
(passo a passo):
- Para
,
- O integrando da densidade de energia é
- Integramos de
a :
Passo 8
Somando as contribuições interna e externa e simplificando:
Colocando em denominador comum
:
Reescrevendo usando
(constante de Coulomb) obtém-se a forma frequentemente encontrada na literatura:
Passo 9
Expressão em termos de
e
(substituindo
), com as contas mostradas:
- Primeiro calcule
. - Substituindo em
:
- Simplificando fatores numéricos e de
e :
Portanto uma forma conveniente em termos de
e
é
Passo 10
Breve verificação e interpretação (motivacional): o resultado mostra que a energia cresce com
quando a densidade
é fixa (mais volume significa mais energia), e em termos da carga total
a dependência é
— intuitivamente, para uma mesma carga total, comprimir a carga (diminuir
) aumenta a energia por causa da maior repulsão. Bom trabalho — já é um resultado clássico e muito útil em eletrostática!