Uma distribuição estática de cargas está distribuída em todo o espaço com densidade volumétrica dada por \rho=\rho_{0}(r / a) \exp \left(-\alpha r^{3}\right), em que \rho_{0}\left(C / m^{3}\right), \alpha\left(1 / m^{3}\right) e a(m) são constantes. Determine o vetor deslocamento elétrico em todo o espaço.

Passo 1

O enunciado fornece uma densidade volumétrica de cargas espalhada por todo o espaço:
\rho(r)=\rho_{0}\left(\frac{r}{a}\right)e^{-\alpha r^{3}}
onde \rho_{0} (unidade \mathrm{C/m^{3}}), \alpha (unidade \mathrm{m^{-3}}) e a (unidade \mathrm{m}) são constantes. A variável r é a distância radial ao ponto considerado (ou seja, r=|\mathbf{r}|).
O que o problema pede: determinar o vetor deslocamento elétrico \mathbf{D}(\mathbf{r}) em todo o espaço, isto é, encontrar \mathbf{D} como função de r.
Informações relevantes dadas:
  • A densidade depende apenas de r (simetria esférica).
  • A distribuição preenche todo o espaço (integral de 0 até +\infty é possível).
  • Não foi especificado meio material diferente do vácuo; vamos trabalhar com a relação fundamental de Maxwell para \mathbf{D}:
\nabla\cdot\mathbf{D}=\rho.

Passo 2

Expliquei a simetria e o formato de \mathbf{D}.
Porque \rho depende só de r, a situação é sphericamente simétrica. Em problemas com simetria esférica o campo \mathbf{D} deve apontar radialmente e ter módulo que depende apenas de r. Logo podemos escrever
\mathbf{D}(\mathbf{r})=D_{r}(r)\,\hat{\mathbf{r}},
onde \hat{\mathbf{r}} é o vetor unitário radial e D_{r}(r) é uma função escalar a determinar. Isso reduz o problema a achar uma função escalar de uma variável.

Passo 3

Uso da lei de Gauss para \mathbf{D} na forma integral (fácil de aplicar com simetria):
A forma integral de \nabla\cdot\mathbf{D}=\rho é
\oint_{S}\mathbf{D}\cdot d\mathbf{A}=Q_{\text{int}},
onde Q_{\text{int}} é a carga total contida dentro da superfície S. Escolho S como a superfície de uma esfera de raio r. Como \mathbf{D}=D_{r}(r)\hat{\mathbf{r}} e d\mathbf{A}=r^{2}\sin\theta\,d\theta\,d\varphi\,\hat{\mathbf{r}}, a integral de superfície dá
4\pi r^{2}D_{r}(r)=Q_{\text{enc}}(r),
ou seja
D_{r}(r)=\frac{Q_{\text{enc}}(r)}{4\pi r^{2}}.
Aqui Q_{\text{enc}}(r) é a carga total contida na bola de raio r.

Passo 4

Expressar Q_{\text{enc}}(r) em termos da densidade dada.
A carga contida na esfera de raio r é a integral de volume
Q_{\text{enc}}(r)=\int_{V(r)}\rho(\mathbf{r}')\,dV' =\int_{0}^{r}\rho(r')\,4\pi r'^{2}\,dr'.
Substituindo \rho(r')=\rho_{0}\dfrac{r'}{a}e^{-\alpha r'^{3}} obtemos
Q_{\text{enc}}(r)=4\pi\frac{\rho_{0}}{a}\int_{0}^{r}r'^{3}e^{-\alpha r'^{3}}\,dr'.

Passo 5

Avaliar a integral \displaystyle \int_{0}^{r} r'^{3}e^{-\alpha r'^{3}}\,dr' por mudança de variável.
Faca a substituição
t=\alpha r'^{3}\quad\Rightarrow\quad dt=3\alpha r'^{2}dr'.
Queremos expressar r'^{3}dr' em função de t. Note que
r'^{3}dr' = r'\cdot r'^{2}dr' .
Da relação dt=3\alpha r'^{2}dr' obtemos r'^{2}dr'=\dfrac{dt}{3\alpha}. Além disso r'=(t/\alpha)^{1/3}. Assim
r'^{3}dr' = (t/\alpha)^{1/3}\cdot\frac{dt}{3\alpha} = \frac{1}{3\alpha^{4/3}}\,t^{1/3}\,dt.
Os limites mudam de r'=0 para t=0 e de r'=r para t=\alpha r^{3}. Substituindo na integral:
\int_{0}^{r} r'^{3}e^{-\alpha r'^{3}}\,dr' = \frac{1}{3\alpha^{4/3}}\int_{0}^{\alpha r^{3}} t^{1/3}e^{-t}\,dt.

Passo 6

Reconhecer a função gama incompleta e obter Q_{\text{enc}}(r).
A integral \displaystyle \int_{0}^{x} t^{s-1}e^{-t}\,dt define a função gama incompleta inferior \gamma(s,x). No nosso caso t^{1/3}=t^{4/3-1}, portanto s=\tfrac{4}{3} e
\int_{0}^{\alpha r^{3}} t^{1/3}e^{-t}\,dt = \gamma\!\left(\tfrac{4}{3},\,\alpha r^{3}\right).
Logo
\int_{0}^{r} r'^{3}e^{-\alpha r'^{3}}\,dr' = \frac{1}{3\alpha^{4/3}}\gamma\!\left(\tfrac{4}{3},\,\alpha r^{3}\right).
Substituindo em Q_{\text{enc}}(r) obtemos
Q_{\text{enc}}(r)=4\pi\frac{\rho_{0}}{a}\cdot\frac{1}{3\alpha^{4/3}}\, \gamma\!\left(\tfrac{4}{3},\,\alpha r^{3}\right) =\frac{4\pi\rho_{0}}{3a\alpha^{4/3}}\, \gamma\!\left(\tfrac{4}{3},\,\alpha r^{3}\right).

Passo 7

Determinar \mathbf{D}(\mathbf{r}) usando a relação de Gauss encontrada no Passo 3.
Usando D_{r}(r)=Q_{\text{enc}}(r)/(4\pi r^{2}) e o Q_{\text{enc}}(r) do Passo 6:
D_{r}(r)=\frac{1}{4\pi r^{2}}\cdot\frac{4\pi\rho_{0}}{3a\alpha^{4/3}}\, \gamma\!\left(\tfrac{4}{3},\,\alpha r^{3}\right) =\frac{\rho_{0}}{3a\alpha^{4/3}}\, \frac{\gamma\!\left(\tfrac{4}{3},\,\alpha r^{3}\right)}{r^{2}}.
Portanto o vetor deslocamento elétrico, lembrando que é radial, é
\mathbf{D}(\mathbf{r})= \frac{\rho_{0}}{3a\alpha^{4/3}}\, \frac{\gamma\!\left(\tfrac{4}{3},\,\alpha r^{3}\right)}{r^{2}}\;\hat{\mathbf{r}}.

Passo 8

Cheque rápido de comportamento limite (sanity check, útil para a prova):
  • Para r\to 0: usa-se a expansão \gamma(s,x)\sim x^{s}/s quando x\to 0. Com s=\tfrac{4}{3} e x=\alpha r^{3} obtém-se D_{r}(r)\sim \dfrac{\rho_{0}}{4a}r^{2} que vai a zero como r^{2} — comportamento físico aceitável no centro.
  • Para r\to\infty: \gamma(s,x)\to\Gamma(s) (gama completa), então D_{r}(r)\sim \dfrac{\rho_{0}\Gamma(\tfrac{4}{3})}{3a\alpha^{4/3}}\,\dfrac{1}{r^{2}}, o que corresponde ao campo produzido pela carga total finita decaindo como 1/r^{2}.

Resposta

\mathbf{D}(\mathbf{r})= \frac{\rho_{0}}{3a\alpha^{4/3}}\, \frac{\gamma\!\left(\tfrac{4}{3},\,\alpha r^{3}\right)}{r^{2}}\;\hat{\mathbf{r}}

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