Uma distribuição estática de cargas está distribuída em todo o espaço com densidade volumétrica dada por
, em que
e
são constantes. Determine o vetor deslocamento elétrico em todo o espaço.
Passo 1
O enunciado fornece uma densidade volumétrica de cargas espalhada por todo o espaço:
onde
(unidade
),
(unidade
) e
(unidade
) são constantes. A variável
é a distância radial ao ponto considerado (ou seja,
).
O que o problema pede: determinar o vetor deslocamento elétrico
em todo o espaço, isto é, encontrar
como função de
.
Informações relevantes dadas:
- A densidade depende apenas de
(simetria esférica). - A distribuição preenche todo o espaço (integral de 0 até
é possível). - Não foi especificado meio material diferente do vácuo; vamos trabalhar com a relação fundamental de Maxwell para
:
Passo 2
Expliquei a simetria e o formato de
.
Porque
depende só de
, a situação é sphericamente simétrica. Em problemas com simetria esférica o campo
deve apontar radialmente e ter módulo que depende apenas de
. Logo podemos escrever
onde
é o vetor unitário radial e
é uma função escalar a determinar. Isso reduz o problema a achar uma função escalar de uma variável.
Passo 3
Uso da lei de Gauss para
na forma integral (fácil de aplicar com simetria):
A forma integral de
é
onde
é a carga total contida dentro da superfície
. Escolho
como a superfície de uma esfera de raio
. Como
e
, a integral de superfície dá
ou seja
Aqui
é a carga total contida na bola de raio
.
Passo 4
Expressar
em termos da densidade dada.
A carga contida na esfera de raio
é a integral de volume
Substituindo
obtemos
Passo 5
Avaliar a integral
por mudança de variável.
Faca a substituição
Queremos expressar
em função de
. Note que
Da relação
obtemos
. Além disso
. Assim
Os limites mudam de
para
e de
para
. Substituindo na integral:
Passo 6
Reconhecer a função gama incompleta e obter
.
A integral
define a função gama incompleta inferior
. No nosso caso
, portanto
e
Logo
Substituindo em
obtemos
Passo 7
Determinar
usando a relação de Gauss encontrada no Passo 3.
Usando
e o
do Passo 6:
Portanto o vetor deslocamento elétrico, lembrando que é radial, é
Passo 8
Cheque rápido de comportamento limite (sanity check, útil para a prova):
-
Para
: usa-se a expansão quando . Com e obtém-se que vai a zero como — comportamento físico aceitável no centro. -
Para
: (gama completa), então , o que corresponde ao campo produzido pela carga total finita decaindo como .