Calcule a energia potencial gravitacional da configuração em cruz das 5 massas abaixo, em que cada massa possui 5 kg e d=3 m. Responda também qual é a energia potencial somente da massa central?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre calcular a energia potencial gravitacional de uma configuração em cruz formada por 5 massas iguais, cada uma com 5 kg, e a distância entre as massas é de 3 metros. Além disso, precisamos descobrir qual é a energia potencial apenas da massa que está no centro dessa cruz. Para isso, vamos usar conceitos de energia potencial gravitacional e a lei da gravitação universal.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula da energia potencial gravitacional entre duas massas:
U = G cdot m1 cdot m2r
Aqui:
  • $ U $ é a energia potencial gravitacional.
  • $ G $ é a constante gravitacional ($ 6,674 \times 10^{-11} , N \cdot m2/\text{kg}2 $).
  • $ m_1 $ e $ m_2 $ são as massas.
  • $ r $ é a distância entre elas.

Passo 3

Na configuração em cruz, temos uma massa central e quatro massas periféricas, todas a 3 metros da central. Vamos calcular a energia potencial gravitacional de cada par de massas.

Passo 4

Primeiro, calculamos a energia potencial entre a massa central e cada uma das quatro massas periféricas. Como todas têm a mesma massa e a mesma distância, podemos calcular uma única vez e depois multiplicar por 4:
Ucentral-periférica = G cdot m cdot md = 6,674 times 10^-11 cdot 5 cdot 53 é
Calculando isso:
Ucentral-periférica = 6,674 times 10^-11 cdot 253 approx 1,6685 times 10^-93 approx 5,562 times 10^-10 , J é
Como são 4 pares central-periférica:
Ucentral total = 4 times 5,562 times 10^-10 approx 2,225 times 10^-9 , J

Passo 5

Agora, vamos calcular a energia potencial entre as massas periféricas. Na cruz, as distâncias entre elas variam:
  • Entre massas opostas (por exemplo, leste-oeste ou norte-sul): a distância é $ 2d = 6 , m $.
  • Entre massas adjacentes (por exemplo, leste-norte, leste-sul, oeste-norte, oeste-sul): a distância é $ d\sqrt{2} \approx 4,2426 , m $.
Temos 6 pares de massas periféricas:
  • 2 pares com $ r = 6 , m $.
  • 4 pares com $ r \approx 4,2426 , m $.
Vamos calcular cada um:
Para os pares com 6 m:
2d = 6 , m é
Como são 2 pares:
draiz2 approx 4,2426 , m
Para os pares com $ \approx 4,2426 $ m:
r = 6 , m é
Como são 4 pares:
r approx 4,2426 , m

Passo 6

Somando todas as energias potenciais:
Utotal = Ucentral total + Uopostas total + Uadjacentes total approx 2,225 times 10^-9 + 5,562 times 10^-10 + 1,571 times 10^-9 = 4,354 times 10^-9 , J

Passo 7

Agora, a energia potencial somente da massa central já calculamos no Passo 4:
Ucentral total approx 2,225 times 10^-9 , J

Resposta

A energia potencial gravitacional total da configuração em cruz é aproximadamente $ 4,35 \times 10^{-9} , J $. Já a energia potencial associada apenas à massa central é aproximadamente $ 2,23 \times 10^{-9} , J $.

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