Calcule a energia potencial gravitacional da configuração em cruz das 5 massas abaixo, em que cada massa possui 5 kg e
. Responda também qual é a energia potencial somente da massa central?
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre calcular a energia potencial gravitacional de uma configuração em cruz formada por 5 massas iguais, cada uma com 5 kg, e a distância entre as massas é de 3 metros. Além disso, precisamos descobrir qual é a energia potencial apenas da massa que está no centro dessa cruz. Para isso, vamos usar conceitos de energia potencial gravitacional e a lei da gravitação universal.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a fórmula da energia potencial gravitacional entre duas massas:
Aqui:
- $ U $ é a energia potencial gravitacional.
- $ G $ é a constante gravitacional ($ 6,674 \times 10^{-11} , N \cdot m2/\text{kg}2 $).
- $ m_1 $ e $ m_2 $ são as massas.
- $ r $ é a distância entre elas.
Passo 3
Na configuração em cruz, temos uma massa central e quatro massas periféricas, todas a 3 metros da central. Vamos calcular a energia potencial gravitacional de cada par de massas.
Passo 4
Primeiro, calculamos a energia potencial entre a massa central e cada uma das quatro massas periféricas. Como todas têm a mesma massa e a mesma distância, podemos calcular uma única vez e depois multiplicar por 4:
Calculando isso:
Como são 4 pares central-periférica:
Passo 5
Agora, vamos calcular a energia potencial entre as massas periféricas. Na cruz, as distâncias entre elas variam:
- Entre massas opostas (por exemplo, leste-oeste ou norte-sul): a distância é $ 2d = 6 , m $.
- Entre massas adjacentes (por exemplo, leste-norte, leste-sul, oeste-norte, oeste-sul): a distância é $ d\sqrt{2} \approx 4,2426 , m $.
Temos 6 pares de massas periféricas:
- 2 pares com $ r = 6 , m $.
- 4 pares com $ r \approx 4,2426 , m $.
Vamos calcular cada um:
Para os pares com 6 m:
Como são 2 pares:
Para os pares com $ \approx 4,2426 $ m:
Como são 4 pares:
Passo 6
Somando todas as energias potenciais:
Passo 7
Agora, a energia potencial somente da massa central já calculamos no Passo 4:
Resposta
A energia potencial gravitacional total da configuração em cruz é aproximadamente $ 4,35 \times 10^{-9} , J $. Já a energia potencial associada apenas à massa central é aproximadamente $ 2,23 \times 10^{-9} , J $.