Calcule a energia térmica total em um litro de hélio à temperatura ambiente e pressão atmosférica. Convença-se de que não é necessário saber o valor da temperatura ambiente.
Passo 1
O problema pede para calcular a energia térmica total contida em um volume de hélio igual a um litro, estando o gás à pressão atmosférica e à temperatura ambiente. As informações dadas são:
- Volume:
. - Pressão:
pressão atmosférica. - O gás é hélio (hélio é um gás monatomicamente ideal para nossos propósitos).
- A temperatura numérica não foi dada e o enunciado sugere que não é necessário conhecê-la.
O que se pede explicitamente: obter o valor numérico da energia térmica total (energia interna térmica) do hélio dentro desse volume nas condições indicadas, e mostrar por que a temperatura não precisa ser conhecida.
Passo 2
Conceito chave: energia interna de um gás ideal monoatômico.
Para um gás ideal, a energia interna total
é dada por
onde:
-
é o número de mols do gás, -
é a capacidade térmica molar a volume constante (unidades: ), -
é a temperatura absoluta (em ).
Explicando por que essa fórmula é válida (de forma didática): a energia interna de um gás ideal monatomicamente se deve apenas à energia cinética das partículas. A teoria da equipartição dá que cada grau de liberdade transacional contribui com
por mol para a energia interna, e um átomo monoatômico tem três graus de liberdade de translação. Logo a energia por mol é
, o que se escreve como
com
.
Passo 3
Determinar
para hélio (monoatômico).
Pela equipartição:
onde
é a constante dos gases ideais (valor numérico conhecido, usamos se necessário). Substituindo em
obtemos a forma específica para gás monoatômico:
Passo 4
Eliminação da temperatura usando a equação de estado dos gases ideais.
A equação de estado (lei dos gases ideais) é
Substituindo
por
na expressão de
dá:
Resultado importante: a dependência explícita em
desaparece ao expressar
em termos de
e
. Portanto, para um gás ideal monoatômico mantido à pressão e volume conhecidos, a energia interna não exige o valor numérico da temperatura — por isso não é necessário saber a temperatura ambiente.
Passo 5
Passar os dados para unidades SI (para calcular numericamente).
Converter o volume e a pressão para unidades do SI:
- Um litro é
. Logo . - Pressão atmosférica padrão:
. (Usa-se esse valor convencional.)
Passo 6
Calcular o produto
e verificar as unidades.
Calcular:
Lembrando que
, logo
Passo 7
Calcular a energia interna usando
.
Aplicando:
Verificação de unidades:
está em joules, multiplicar por número adimensional preserva
. Resultado numérico obtido sem usar
.
Passo 8
Interpretação e arredondamento.
O valor calculado corresponde à energia térmica interna total contida em
de hélio à pressão atmosférica. Em notação prática e com algarismos significativos razoáveis, pode-se escrever o resultado como aproximadamente
. Isso confirma que a temperatura numérica não era necessária porque
foi reescrita em termos de
.