Calcule a energia térmica total em um litro de hélio à temperatura ambiente e pressão atmosférica. Convença-se de que não é necessário saber o valor da temperatura ambiente.

Passo 1

O problema pede para calcular a energia térmica total contida em um volume de hélio igual a um litro, estando o gás à pressão atmosférica e à temperatura ambiente. As informações dadas são:
  • Volume: V=1\\ \text{litro}.
  • Pressão: p= pressão atmosférica.
  • O gás é hélio (hélio é um gás monatomicamente ideal para nossos propósitos).
  • A temperatura numérica não foi dada e o enunciado sugere que não é necessário conhecê-la.
O que se pede explicitamente: obter o valor numérico da energia térmica total (energia interna térmica) do hélio dentro desse volume nas condições indicadas, e mostrar por que a temperatura não precisa ser conhecida.

Passo 2

Conceito chave: energia interna de um gás ideal monoatômico.
Para um gás ideal, a energia interna total U é dada por
U = n C_V T,
onde:
  • n é o número de mols do gás,
  • C_V é a capacidade térmica molar a volume constante (unidades: \mathrm{J\,mol^{-1}K^{-1}}),
  • T é a temperatura absoluta (em \mathrm{K}).
Explicando por que essa fórmula é válida (de forma didática): a energia interna de um gás ideal monatomicamente se deve apenas à energia cinética das partículas. A teoria da equipartição dá que cada grau de liberdade transacional contribui com \tfrac{1}{2}RT por mol para a energia interna, e um átomo monoatômico tem três graus de liberdade de translação. Logo a energia por mol é \tfrac{3}{2}RT, o que se escreve como C_V T com C_V=\tfrac{3}{2}R.

Passo 3

Determinar C_V para hélio (monoatômico).
Pela equipartição:
C_V = \frac{3}{2}R,
onde R é a constante dos gases ideais (valor numérico conhecido, usamos se necessário). Substituindo em U=nC_VT obtemos a forma específica para gás monoatômico:
U = n\left(\frac{3}{2}R\right)T.

Passo 4

Eliminação da temperatura usando a equação de estado dos gases ideais.
A equação de estado (lei dos gases ideais) é
pV = nRT.
Substituindo nRT por pV na expressão de U dá:
U = \frac{3}{2}\,nRT = \frac{3}{2}\,pV.
Resultado importante: a dependência explícita em T desaparece ao expressar U em termos de p e V. Portanto, para um gás ideal monoatômico mantido à pressão e volume conhecidos, a energia interna não exige o valor numérico da temperatura — por isso não é necessário saber a temperatura ambiente.

Passo 5

Passar os dados para unidades SI (para calcular numericamente).
Converter o volume e a pressão para unidades do SI:
  • Um litro é 1\\ \text{L}=1\times 10^{-3}\\ \mathrm{m^{3}}. Logo V=1\times10^{-3}\\ \mathrm{m^{3}}.
  • Pressão atmosférica padrão: p=1\\ \text{atm}\approx 1{,}013\times10^{5}\\ \mathrm{Pa}. (Usa-se esse valor convencional.)

Passo 6

Calcular o produto pV e verificar as unidades.
Calcular:
pV = \left(1{,}013\times10^{5}\\ \mathrm{Pa}\right)\left(1\times10^{-3}\\ \mathrm{m^{3}}\right) = 1{,}013\times10^{2}\\ \mathrm{Pa\cdot m^{3}}.
Lembrando que 1\\ \mathrm{Pa\cdot m^{3}} = 1\\ \mathrm{J}, logo
pV = 1{,}013\times10^{2}\\ \mathrm{J} = 101{,}3\\ \mathrm{J}.

Passo 7

Calcular a energia interna usando U=\tfrac{3}{2}pV.
Aplicando:
U = \frac{3}{2}\,pV = \frac{3}{2}\left(101{,}3\\ \mathrm{J}\right) = 151{,}95\\ \mathrm{J}.
Verificação de unidades: pV está em joules, multiplicar por número adimensional preserva \mathrm{J}. Resultado numérico obtido sem usar T.

Passo 8

Interpretação e arredondamento.
O valor calculado corresponde à energia térmica interna total contida em 1\\ \text{L} de hélio à pressão atmosférica. Em notação prática e com algarismos significativos razoáveis, pode-se escrever o resultado como aproximadamente 152\\ \mathrm{J}. Isso confirma que a temperatura numérica não era necessária porque U foi reescrita em termos de pV.

Resposta

U=151{,}95\\ \mathrm{J}\approx152\\ \mathrm{J}

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