O comprimento de uma haste de alumínio foi medido por uma fita métrica de aço a temperatura de
e o valor obtido foi de
. Sabendo que os coeficientes de dilatação linear do aço e do alumínio são, respectivamente,
e
, determine, a uma temperatura padrão de
, a diferença entre ambos os comprimentos em milímetros ( mm ).
Passo 1
O enunciado e os dados fornecidos (assumi tudo diretamente do enunciado):
- Comprimento medido pela fita de aço à temperatura de
: . - Coeficiente de dilatação linear do aço:
. - Coeficiente de dilatação linear do alumínio:
. - Temperatura padrão desejada:
.
O que o problema pede:
- Determinar, à temperatura padrão de
, a diferença entre os comprimentos (em milímetros) do que foi medido pela fita e do corpo de alumínio. Ou seja, encontrar a diferença entre o comprimento real do alumínio a e a marcação de quando a fita está na sua condição padrão (que é ).
Passo 2
Conceito e fórmula que vamos usar (explicação didática):
- A dilatação linear diz que o comprimento
de um objeto varia com a temperatura segundo a fórmula
onde:
-
é o comprimento à temperatura , -
é o comprimento à temperatura de referência (aqui ), -
é o coeficiente de dilatação linear (unidade ), -
é a variação de temperatura em kelvin (ou graus Celsius, pois a variação é a mesma).
Interpretação prática para medição com fita:
- Quando uma fita de aço aquece, cada “metro” marcado na fita fica um pouco maior. Se à
a fita indica , o comprimento real do objeto àquela temperatura é multiplicado pelo fator de alongamento da fita. - Se queremos o comprimento do alumínio à
, precisamos relacionar o comprimento medido à (obtido com fita expandida) com o comprimento do alumínio na sua própria referência usando as fórmulas de dilatação para ambos.
Passo 3
Escrever as relações matemáticas entre as quantidades:
- Seja
o comprimento do alumínio à (o que queremos). - À
a fita de aço e o alumínio estão mais longos; a leitura de significa que o comprimento real do alumínio à vale
porque cada unidade marcada na fita tem o comprimento real
vezes a unidade padrão.
- Também vale a relação de dilatação do próprio alumínio entre
e :
- Igualando as duas expressões para
e isolando obtemos a expressão para o comprimento do alumínio à :
Passo 4
Determinar a variação de temperatura a usar:
- A temperatura padrão é
e a medição foi feita a . Então
Passo 5
Substituir os valores numéricos na fórmula e calcular passo a passo (mostrando contas):
- Calcular os fatores de expansão:
- Calcular
:
- Fazer a divisão aproximada (mostrando a lógica): primeiro calcular o quociente dos fatores:
Multiplicando por
:
Passo 6
Calcular a diferença entre os comprimentos à
:
- A fita, na sua condição padrão
, tem nas marcas (ou seja, a marca de corresponde a reais a ). A diferença (alumínio menos fita padrão) é
O sinal negativo indica que, ao serem trazidos a
, o alumínio ficou mais curto que os
da marca de fita.
Passo 7
Converter a diferença para milímetros e arredondar adequadamente:
Arredondando com uma precisão adequada (por exemplo, três casas decimais em mm):
Interpretação final: o comprimento do alumínio a
é aproximadamente
menor do que a marca de
da fita na sua condição padrão.
Resposta
-0{,}924\ \mathrm{mm}