O comprimento de uma haste de alumínio foi medido por uma fita métrica de aço a temperatura de 32^{\circ} \mathrm{C} e o valor obtido foi de 7,0 \mathrm{~m}. Sabendo que os coeficientes de dilatação linear do aço e do alumínio são, respectivamente, \alpha_{\text {aço }}=1,2 \times 10^{-5} \mathrm{~K}^{-1}ç e \alpha_{\text {al }}=2,3 \times 10^{-5} \mathrm{~K}^{-1}, determine, a uma temperatura padrão de 20^{\circ} \mathrm{C}, a diferença entre ambos os comprimentos em milímetros ( mm ).

Passo 1

O enunciado e os dados fornecidos (assumi tudo diretamente do enunciado):
  • Comprimento medido pela fita de aço à temperatura de 32^\circ\mathrm{C}: 7{,}0\\ \mathrm{m}.
  • Coeficiente de dilatação linear do aço: \alpha_{\text{aço}}=1{,}2\times 10^{-5}\\ \mathrm{K}^{-1}ç.
  • Coeficiente de dilatação linear do alumínio: \alpha_{\text{al}}=2{,}3\times 10^{-5}\\ \mathrm{K}^{-1}.
  • Temperatura padrão desejada: 20^\circ\mathrm{C}.
O que o problema pede:
  • Determinar, à temperatura padrão de 20^\circ\mathrm{C}, a diferença entre os comprimentos (em milímetros) do que foi medido pela fita e do corpo de alumínio. Ou seja, encontrar a diferença entre o comprimento real do alumínio a 20^\circ\mathrm{C} e a marcação de 7{,}0\\ \mathrm{m} quando a fita está na sua condição padrão (que é 20^\circ\mathrm{C}).

Passo 2

Conceito e fórmula que vamos usar (explicação didática):
  • A dilatação linear diz que o comprimento L de um objeto varia com a temperatura segundo a fórmula
L(T)=L_0\big(1+\alpha\Delta T\big),
onde:
  • L(T) é o comprimento à temperatura T,
  • L_0 é o comprimento à temperatura de referência (aqui 20^\circ\mathrm{C}),
  • \alpha é o coeficiente de dilatação linear (unidade \mathrm{K}^{-1}),
  • \Delta T=T-T_{\text{ref}} é a variação de temperatura em kelvin (ou graus Celsius, pois a variação é a mesma).
Interpretação prática para medição com fita:
  • Quando uma fita de aço aquece, cada “metro” marcado na fita fica um pouco maior. Se à 32^\circ\mathrm{C} a fita indica 7{,}0\\ \mathrm{m}, o comprimento real do objeto àquela temperatura é 7{,}0 multiplicado pelo fator de alongamento da fita.
  • Se queremos o comprimento do alumínio à 20^\circ\mathrm{C}, precisamos relacionar o comprimento medido à 32^\circ\mathrm{C} (obtido com fita expandida) com o comprimento do alumínio na sua própria referência 20^\circ\mathrm{C} usando as fórmulas de dilatação para ambos.

Passo 3

Escrever as relações matemáticas entre as quantidades:
  • Seja L_{\text{al}}(20) o comprimento do alumínio à 20^\circ\mathrm{C} (o que queremos).
  • À 32^\circ\mathrm{C} a fita de aço e o alumínio estão mais longos; a leitura de 7{,}0\\ \mathrm{m} significa que o comprimento real do alumínio à 32^\circ\mathrm{C} vale
L_{\text{al}}(32)=7{,}0\\ \mathrm{m}\times\big(1+\alpha_{\text{aço}}\Delta T\big),ç
porque cada unidade marcada na fita tem o comprimento real \big(1+\alpha_{\text{aço}}\Delta T\big)ç vezes a unidade padrão.
  • Também vale a relação de dilatação do próprio alumínio entre 20^\circ\mathrm{C} e 32^\circ\mathrm{C}:
L_{\text{al}}(32)=L_{\text{al}}(20)\big(1+\alpha_{\text{al}}\Delta T\big).
  • Igualando as duas expressões para L_{\text{al}}(32) e isolando L_{\text{al}}(20) obtemos a expressão para o comprimento do alumínio à 20^\circ\mathrm{C}:
L_{\text{al}}(20)=\frac{7{,}0\\ \mathrm{m}\,\big(1+\alpha_{\text{aço}}\Delta T\big)}{1+\alpha_{\text{al}}\Delta T}.ç

Passo 4

Determinar a variação de temperatura a usar:
  • A temperatura padrão é 20^\circ\mathrm{C} e a medição foi feita a 32^\circ\mathrm{C}. Então
\Delta T = 32^\circ\mathrm{C}-20^\circ\mathrm{C}=12\\ \mathrm{K}.

Passo 5

Substituir os valores numéricos na fórmula e calcular passo a passo (mostrando contas):
  • Calcular os fatores de expansão:
1+\alpha_{\text{aço}}\Delta T = 1 + (1{,}2\times10^{-5})(12) = 1 + 1{,}44\times10^{-4} = 1{,}000144.ç
1+\alpha_{\text{al}}\Delta T = 1 + (2{,}3\times10^{-5})(12) = 1 + 2{,}76\times10^{-4} = 1{,}000276.
  • Calcular L_{\text{al}}(20):
L_{\text{al}}(20)=\frac{7{,}0\\ \mathrm{m}\times 1{,}000144}{1{,}000276}.
  • Fazer a divisão aproximada (mostrando a lógica): primeiro calcular o quociente dos fatores:
\frac{1{,}000144}{1{,}000276}\approx 0{,}9998679602.
Multiplicando por 7{,}0\\ \mathrm{m}:
L_{\text{al}}(20)\approx 7{,}0\times 0{,}9998679602 = 6{,}9990757214\\ \mathrm{m}.

Passo 6

Calcular a diferença entre os comprimentos à 20^\circ\mathrm{C}:
  • A fita, na sua condição padrão 20^\circ\mathrm{C}, tem 7{,}0\\ \mathrm{m} nas marcas (ou seja, a marca de 7{,}0\\ \mathrm{m} corresponde a 7{,}0\\ \mathrm{m} reais a 20^\circ\mathrm{C}). A diferença (alumínio menos fita padrão) é
\Delta L = L_{\text{al}}(20)-7{,}0\\ \mathrm{m}\approx 6{,}9990757214\\ \mathrm{m}-7{,}0\\ \mathrm{m} = -0{,}0009242786\\ \mathrm{m}.
O sinal negativo indica que, ao serem trazidos a 20^\circ\mathrm{C}, o alumínio ficou mais curto que os 7{,}0\\ \mathrm{m} da marca de fita.

Passo 7

Converter a diferença para milímetros e arredondar adequadamente:
\Delta L \approx -0{,}0009242786\\ \mathrm{m} = -0{,}9242786\\ \mathrm{mm}.
Arredondando com uma precisão adequada (por exemplo, três casas decimais em mm):
\Delta L \approx -0{,}924\\ \mathrm{mm}.
Interpretação final: o comprimento do alumínio a 20^\circ\mathrm{C} é aproximadamente 0{,}924\\ \mathrm{mm} menor do que a marca de 7{,}0\\ \mathrm{m} da fita na sua condição padrão.

Resposta

-0{,}924\ \mathrm{mm}

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