Atmosfera isotérmica (ou exponencial):
a) Considere uma “fatia” horizontal estacionária de ar de altura
, massa total
e área
. Como a fatia está em repouso, vimos em aula que
, a taxa de variação da pressão com a altitude, é dada por
onde
é a densidade do ar atmosférico. Use a lei dos gases ideais,
, para escrever a densidade do ar em termos de sua pressão, temperatura e da massa da amostra de ar (exprima a massa
em termos da massa molar
discutida na questão 6). Mostre que a pressão obedece à equação diferencial
que é chamada de a equação barométrica.
b) Suponha constante a temperatura
(atmosfera isotérmica) e verifique que
cte, onde
é a pressão ao nível do mar, i.e.,
. Resolva a equação diferencial obtida na parte (a), obtendo a pressão
como função da altitude
(lei de Halley):
onde
.
a) Considere uma “fatia” horizontal estacionária de ar de altura
b) Suponha constante a temperatura
Passo 1
O enunciado dá a equação hidrostática para uma fatia de ar em repouso e pede duas coisas:
- (a) Expressar a densidade do ar em função da pressão, temperatura e da massa molar
e mostrar que a pressão satisfaz a equação
- (b) Assumir temperatura constante
(atmosfera isotérmica), verificar que é constante e resolver a equação diferencial do item (a) para obter a lei
com
, onde
e
.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
- A equação hidrostática:
. - A lei dos gases ideais:
. - A fatia tem volume
(área , espessura ) e massa total . - A massa molares mencionada:
(massa de uma mole do gás). - Condição para o item (b):
constante; e .
Passo 2
Vamos relacionar massa, número de mols e massa molar, e depois obter a densidade em função de
e
.
Conceitos e fórmulas que vou usar:
- Número de mols
e massa molar estão ligados por
onde
é a massa da amostra (em kg),
é o número de mols (em mol) e
é a massa molar (em kg·mol^{-1}).
- Densidade é massa por volume:
- A lei dos gases ideais escrita em termos de
é
Agora uso a lei dos gases ideais para substituir
. Da lei dos gases segue
Substituindo em
obtenho
Dividindo por
para obter a densidade:
Portanto a densidade do ar está expressa em função de
,
e
como
Passo 3
Agora substituo essa expressão de
na equação hidrostática para obter a equação barométrica.
A equação hidrostática dada é
Substituindo
resulta
Agrupando os fatores que multiplicam
,
Essa é exatamente a equação diferencial pedida (a equação barométrica). Aqui cada símbolo significa:
-
: pressão em função da altitude . -
: massa molar do ar. -
: aceleração da gravidade (constante). -
: constante universal dos gases. -
: temperatura absoluta (aqui assumida constante somente no item b, mas a equação acima vale mesmo sem assumir isotermicidade se for escrita como acima).
Passo 4
Antes de resolver a EDO, verifico a relação entre
e
. Use a expressão obtida para
:
Então o quociente
é
O lado direito não depende de
(porque
é constante no item (b) e
são constantes), portanto
é uma constante em
. Como em
vale a mesma relação, obtemos também
(Observação didática: é natural escrever a constante como
; usar
é equivalente porque em
a mesma relação vale.)
Passo 5
Agora resolvo a equação diferencial obtida no Passo 3. A equação é linear e separável:
Faço separação de variáveis:
Integro ambos os lados. A integral do lado esquerdo entre
e
e do lado direito entre
e
dá
As integrais resultam em logaritmos:
Exponenciando ambos os lados:
Definindo
temos a forma pedida
Para mostrar que
também pode ser escrito como
, uso a relação
(obtida no Passo 2 avaliada em
). Então
Portanto as duas formas são equivalentes e a constante
pode ser escrita como
Passo 6
Resumo didático e interpretação rápida (para fixar na prova):
- A densidade em função da pressão e temperatura é
. - Substituindo em
obtemos a equação barométrica . - Para temperatura constante, o perfil de pressão é exponencial decrescente:
com
.
- A razão
é constante e igual a (ou, equivalentemente, ).
Resposta
(a)
(b)