Atmosfera isotérmica (ou exponencial):
a) Considere uma “fatia” horizontal estacionária de ar de altura d z, massa total m e área A. Como a fatia está em repouso, vimos em aula que d P / d z, a taxa de variação da pressão com a altitude, é dada por
\frac{d P}{d z}=-\rho g
onde \rho é a densidade do ar atmosférico. Use a lei dos gases ideais, P V=n R T, para escrever a densidade do ar em termos de sua pressão, temperatura e da massa da amostra de ar (exprima a massa m em termos da massa molar M discutida na questão 6). Mostre que a pressão obedece à equação diferencial
\frac{d P}{d z}=-\frac{M g}{R T} P,
que é chamada de a equação barométrica.
b) Suponha constante a temperatura T (atmosfera isotérmica) e verifique que P(z) / \rho(z)= \rho_{0} / P_{0}= cte, onde P_{0} é a pressão ao nível do mar, i.e., P(z=0)=1 \mathrm{~atm}. Resolva a equação diferencial obtida na parte (a), obtendo a pressão P como função da altitude z (lei de Halley):
P(z)=P_{0} e^{-\lambda z}
onde \lambda=\rho_{0} g / P_{0}.

Passo 1

O enunciado dá a equação hidrostática para uma fatia de ar em repouso e pede duas coisas:
  • (a) Expressar a densidade do ar em função da pressão, temperatura e da massa molar M e mostrar que a pressão satisfaz a equação
\frac{dP}{dz}=-\frac{M g}{R T}\,P.
  • (b) Assumir temperatura constante T (atmosfera isotérmica), verificar que P(z)/\rho(z) é constante e resolver a equação diferencial do item (a) para obter a lei
P(z)=P_{0}e^{-\lambda z}
com \lambda=\rho_{0}g/P_{0}, onde P_{0}=P(0) e \rho_{0}=\rho(0).
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
  • A equação hidrostática: \dfrac{dP}{dz}=-\rho g.
  • A lei dos gases ideais: P V=n R T.
  • A fatia tem volume V=A\,dz (área A, espessura dz) e massa total m.
  • A massa molares mencionada: M (massa de uma mole do gás).
  • Condição para o item (b): T constante; P_{0}=P(z=0) e \rho_{0}=\rho(z=0).

Passo 2

Vamos relacionar massa, número de mols e massa molar, e depois obter a densidade em função de P e T.
Conceitos e fórmulas que vou usar:
  • Número de mols n e massa molar M estão ligados por
m=n M,
onde m é a massa da amostra (em kg), n é o número de mols (em mol) e M é a massa molar (em kg·mol^{-1}).
  • Densidade é massa por volume:
\rho=\frac{m}{V}.
  • A lei dos gases ideais escrita em termos de n é
P V=n R T.
Agora uso a lei dos gases ideais para substituir n. Da lei dos gases segue
n=\frac{P V}{R T}.
Substituindo em m=nM obtenho
m=M\frac{P V}{R T}.
Dividindo por V para obter a densidade:
\rho=\frac{m}{V}=M\frac{P}{R T}.
Portanto a densidade do ar está expressa em função de P, T e M como
\boxed{\rho=\frac{M P}{R T}.}

Passo 3

Agora substituo essa expressão de \rho na equação hidrostática para obter a equação barométrica.
A equação hidrostática dada é
\frac{dP}{dz}=-\rho g.
Substituindo \rho=\dfrac{M P}{R T} resulta
\frac{dP}{dz}=-\left(\frac{M P}{R T}\right)g.
Agrupando os fatores que multiplicam P,
\frac{dP}{dz}=-\frac{M g}{R T}\;P.
Essa é exatamente a equação diferencial pedida (a equação barométrica). Aqui cada símbolo significa:
  • P=P(z): pressão em função da altitude z.
  • M: massa molar do ar.
  • g: aceleração da gravidade (constante).
  • R: constante universal dos gases.
  • T: temperatura absoluta (aqui assumida constante somente no item b, mas a equação acima vale mesmo sem assumir isotermicidade se \rho for escrita como acima).

Passo 4

Antes de resolver a EDO, verifico a relação entre P(z) e \rho(z). Use a expressão obtida para \rho:
\rho(z)=\frac{M P(z)}{R T}.
Então o quociente P(z)/\rho(z) é
\frac{P(z)}{\rho(z)}=\frac{P(z)}{\dfrac{M P(z)}{R T}}=\frac{R T}{M}.
O lado direito não depende de z (porque T é constante no item (b) e M,R são constantes), portanto P(z)/\rho(z) é uma constante em z. Como em z=0 vale a mesma relação, obtemos também
\frac{P(z)}{\rho(z)}=\frac{P_{0}}{\rho_{0}}=\frac{R T}{M}=\text{constante}.
(Observação didática: é natural escrever a constante como \dfrac{R T}{M}; usar \dfrac{P_{0}}{\rho_{0}} é equivalente porque em z=0 a mesma relação vale.)

Passo 5

Agora resolvo a equação diferencial obtida no Passo 3. A equação é linear e separável:
\frac{dP}{dz}=-\frac{M g}{R T}\,P.
Faço separação de variáveis:
\frac{dP}{P}=-\frac{M g}{R T}\,dz.
Integro ambos os lados. A integral do lado esquerdo entre P_{0} e P(z) e do lado direito entre 0 e z
\int_{P_{0}}^{P(z)}\frac{dP'}{P'}=-\frac{M g}{R T}\int_{0}^{z}dz'.
As integrais resultam em logaritmos:
\ln\!\left(\frac{P(z)}{P_{0}}\right)=-\frac{M g}{R T}\,z.
Exponenciando ambos os lados:
P(z)=P_{0}\,e^{-\dfrac{M g}{R T}\,z}.
Definindo
\lambda\equiv\frac{M g}{R T},
temos a forma pedida
P(z)=P_{0}e^{-\lambda z}.
Para mostrar que \lambda também pode ser escrito como \dfrac{\rho_{0}g}{P_{0}}, uso a relação \rho_{0}=\dfrac{M P_{0}}{R T} (obtida no Passo 2 avaliada em z=0). Então
\frac{\rho_{0}g}{P_{0}}=\frac{\left(\dfrac{M P_{0}}{R T}\right)g}{P_{0}}=\frac{M g}{R T}=\lambda.
Portanto as duas formas são equivalentes e a constante \lambda pode ser escrita como
\boxed{\lambda=\frac{M g}{R T}=\frac{\rho_{0}g}{P_{0}}.}

Passo 6

Resumo didático e interpretação rápida (para fixar na prova):
  • A densidade em função da pressão e temperatura é \rho=\dfrac{M P}{R T}.
  • Substituindo em \dfrac{dP}{dz}=-\rho g obtemos a equação barométrica \dfrac{dP}{dz}=-\dfrac{M g}{R T}P.
  • Para temperatura constante, o perfil de pressão é exponencial decrescente:
P(z)=P_{0}e^{-\lambda z},
com \lambda=\dfrac{M g}{R T}=\dfrac{\rho_{0}g}{P_{0}}.
  • A razão P/\rho é constante e igual a \dfrac{R T}{M} (ou, equivalentemente, \dfrac{P_{0}}{\rho_{0}}).

Resposta

(a) \displaystyle \frac{dP}{dz}=-\frac{M g}{R T}\,P.
(b) \displaystyle \frac{P(z)}{\rho(z)}=\frac{P_{0}}{\rho_{0}}=\frac{R T}{M}=\text{cte}.
\displaystyle P(z)=P_{0}e^{-\lambda z}\quad\text{com}\quad \lambda=\frac{M g}{R T}=\frac{\rho_{0}g}{P_{0}}.

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