Calcule a entalpia, a entropia e a energia de Gibbs de mistura de 1,00 \mathrm{~mol} de \mathrm{C}_{6} \mathrm{H}_{6} com 1,00 \mathrm{~mol} de \mathrm{C}_{6} \mathrm{D}_{6} a 25^{\circ} \mathrm{C}. Admita que a solução é ideal.

Passo 1

O enunciado pede que se calcule a entalpia, a entropia e a energia livre de Gibbs da mistura de 1,00\\ \mathrm{mol} de \mathrm{C_6H_6} com 1,00\\ \mathrm{mol} de \mathrm{C_6D_6} à temperatura 25^\circ\mathrm{C}. Dados e perguntas claros:
  • Quantidades: n_1 = 1,00\\ \mathrm{mol} (benzeno) e n_2 = 1,00\\ \mathrm{mol} (deuterobenzeno).
  • Temperatura: 25^\circ\mathrm{C} = 298,15\\ \mathrm{K}.
  • Pressuposto do enunciado: solução ideal.
  • Perguntas:
    1. Calcular a entalpia de mistura \Delta H_{\text{mix}}.
    2. Calcular a entropia de mistura \Delta S_{\text{mix}}.
    3. Calcular a energia livre (Gibbs) de mistura \Delta G_{\text{mix}}.

Passo 2

Entalpia de mistura para solução ideal — conceito e fórmula:
  • Para uma solução ideal assume-se que as interações entre moléculas diferentes são iguais às interações entre moléculas iguais. Nesse caso não há troca de calor associada à mistura além da energia térmica já presente, portanto a entalpia de mistura é zero.
  • Matemática: \Delta H_{\text{mix}}=0.
Explicação didática curta: a entalpia mede energia térmica trocada quando mudam as interações intermoleculares. Em solução ideal, trocar moléculas não altera a energia média das interações, logo não há efeito entálpico.

Passo 3

Entropia de mistura — fórmula, significado e cálculo passo a passo:
  • Fórmula geral (para mistura de k componentes):
\Delta S_{\text{mix}} = -R \sum_{i=1}^{k} n_i \ln x_i,
onde:
  • R é a constante dos gases ( R = 8,314\\ \mathrm{J\,mol^{-1}\,K^{-1}}),
  • n_i é a quantidade (mols) do componente i,
  • x_i é a fração molar do componente i após a mistura.
  • Interpretação: a mistura aumenta a desordem (entropia) porque as partículas se espalham; a expressão vem da contagem estatística das configurações.
Aplicando aos dados:
  • Temos n_1 = 1,00\\ \mathrm{mol} e n_2 = 1,00\\ \mathrm{mol}.
  • O total é n_{\text{tot}} = n_1 + n_2 = 2,00\\ \mathrm{mol}.
  • Frações molares:
x_1 = \frac{n_1}{n_{\text{tot}}} = \frac{1,00}{2,00} = 0,5,\qquad x_2 = 0,5.
  • Substituindo na fórmula:
\Delta S_{\text{mix}} = -R\bigl( n_1\ln x_1 + n_2\ln x_2 \bigr) = -R\bigl(1\cdot\ln 0,5 + 1\cdot\ln 0,5\bigr).
Como \ln 0,5 = -\ln 2, isso vira
\Delta S_{\text{mix}} = -R\bigl(2\ln 0,5\bigr) = 2R\ln 2.
  • Agora o cálculo numérico (usando R = 8,314\\ \mathrm{J\,mol^{-1}\,K^{-1}} e \ln 2 \approx 0,693147):
R\ln 2 \approx 8,314\times0,693147 \approx 5,762\\ \mathrm{J\,K^{-1}},
\Delta S_{\text{mix}} = 2\times 5,762 \approx 11,53\\ \mathrm{J\,K^{-1}}.
Observação sobre interpretação: este valor é a variação total de entropia ao misturar 1,00\\ \mathrm{mol} com 1,00\\ \mathrm{mol}. Se quisesse a entropia de mistura por mol de mistura dividiria por 2,00.

Passo 4

Energia livre de Gibbs de mistura — fórmula, relação com \Delta H e \Delta S, e cálculo:
  • Relação termodinâmica geral:
\Delta G_{\text{mix}} = \Delta H_{\text{mix}} - T\,\Delta S_{\text{mix}}.
  • Para solução ideal já sabemos \Delta H_{\text{mix}}=0, então
\Delta G_{\text{mix}} = -T\,\Delta S_{\text{mix}}.
  • Substituindo T = 298,15\\ \mathrm{K} e \Delta S_{\text{mix}} \approx 11,53\\ \mathrm{J\,K^{-1}}:
\Delta G_{\text{mix}} \approx -298,15\times 11,53\\ \mathrm{J} \approx -3436\\ \mathrm{J}.
  • Em unidades mais usuais:
\Delta G_{\text{mix}} \approx -3,44\\ \mathrm{kJ}.
Interpretação física: \Delta G_{\text{mix}}<0 indica que a mistura é espontânea (do ponto de vista termodinâmico) a 25^\circ\mathrm{C}, devido ao ganho entropico pela mistura.

Passo 5

Resumo dos procedimentos e verificação de consistência:
  • Fórmulas usadas: \Delta H_{\text{mix}}=0 (solução ideal), \Delta S_{\text{mix}}=-R\sum n_i\ln x_i, \Delta G_{\text{mix}}=\Delta H_{\text{mix}}-T\Delta S_{\text{mix}}.
  • Valores numéricos arredondados com 3 algarismos significativos foram apresentados.
  • Os sinais fazem sentido fisicamente: entropia positiva (a mistura aumenta desordem) e energia livre negativa (mistura espontânea).

Resposta

\Delta H_{\text{mix}} = 0\\ \mathrm{J}
\Delta S_{\text{mix}} = 11,53\\ \mathrm{J\,K^{-1}}
\Delta G_{\text{mix}} = -3,44\\ \mathrm{kJ}

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