Um recipiente é dividido em duas seções de tamanhos iguais. O da esquerda contém hidrogênio na pressão de 100 \mathrm{kPa} e o da direita contém nitrogênio na pressão de 75,0 \mathrm{kPa}, ambos a 25^{\circ} \mathrm{C}. Calcule a entropia de mistura quando a separação é removida. Admita que os gases se comportam como gases perfeitos.

Passo 1

O enunciado dá o seguinte (não quero perder você já no começo — vamos devagar):
  • Um recipiente está dividido em duas seções de volumes iguais; chamo cada seção de V_0.
  • Seção esquerda: hidrogênio (H _2) à pressão P_1 = 100\\ \mathrm{kPa} e temperatura 25^\circ\mathrm{C}.
  • Seção direita: nitrogênio (N _2) à pressão P_2 = 75{,}0\\ \mathrm{kPa} e temperatura 25^\circ\mathrm{C}.
  • Ambas as porções estão à mesma temperatura 25^\circ\mathrm{C}, ou seja T = 25^\circ\mathrm{C} = 298{,}15\\ \mathrm{K}.
  • A separação é removida e os gases se misturam; eles são ideais (gás perfeito).
O que o enunciado pede:
  • Calcular a entropia de mistura resultante quando a separação é removida.
Observações importantes (para não nos confundirmos depois):
  • O enunciado não informa o volume absoluto de cada seção V_0. Por isso, a entropia total de mistura \Delta S_{\text{mix, total}} dependerá de quantas mols de gás houver (isto é, dependerá de V_0).
  • Podemos, porém, obter duas coisas úteis e distintas:
    1. a expressão geral para \Delta S_{\text{mix, total}} em função de V_0 (se você souber o volume, basta substituir);
    2. a entropia de mistura por mol de mistura (valor molar, que NÃO depende de V_0).
      Vou calcular as duas coisas: a fórmula geral e o valor molar numérico.

Passo 2

Conceito-chave e fórmula que vamos usar (explicadinha e tranquila):
  • Para um gás ideal monoespécie, a entropia molar (função de estado) a temperatura T e pressão p pode ser escrita, com uma referência qualquer, assim:
s(T,p)=s^\circ(T)-R\ln p,
onde R é a constante dos gases ideais e s^\circ(T) depende só de T. O que importa aqui é que, a T constante, a variação de entropia ao passar de pressão p_i para p_f é
\Delta s = -R\ln\!\left(\frac{p_f}{p_i}\right).
  • Por ser função de estado, a variação total de entropia ao ir do estado inicial (dois compartimentos separados) ao estado final (mistura homogênea) pode ser obtida escolhendo um percurso reversível conveniente. Para gases ideais é prático usar a expressão acima com as pressões iniciais (cada gás puro em sua seção) e as pressões parciais finais na mistura.
  • Relação útil (gás ideal): para cada componente i,
p_{i,\text{inicial}}=\frac{n_i R T}{V_i},\qquad p_{i,\text{final}}=\frac{n_i R T}{V_{\text{total}}},
porque na mistura o componente i ainda satisfaz a equação de estado ideal usando o volume total V_{\text{total}}. Assim, a razão p_{i,\text{final}}/p_{i,\text{inicial}}=V_i/V_{\text{total}}.
  • Logo, a contribuição de cada componente i para a variação de entropia total é
\Delta S_i = n_i R \ln\!\left(\frac{V_{\text{total}}}{V_i}\right).
E a variação total é a soma sobre os componentes:
\Delta S_{\text{mix,total}}=\sum_i n_i R \ln\!\left(\frac{V_{\text{total}}}{V_i}\right).
Essa é a fórmula que vou aplicar — é direta, física e evita armadilhas.

Passo 3

Aplicando ao nosso caso (dois compartimentos, volumes iguais):
  • Os volumes iniciais são V_1=V_2=V_0. O volume total após remover a separação é
V_{\text{total}} = V_1+V_2 = 2V_0.
  • Substituindo na fórmula de cima:
\Delta S_{\text{mix,total}} = n_1 R \ln\!\left(\frac{2V_0}{V_0}\right) + n_2 R \ln\!\left(\frac{2V_0}{V_0}\right) = (n_1+n_2)R\ln 2.
Portanto, para volumes iniciais iguais a entropia de mistura total é simplesmente
\boxed{\Delta S_{\text{mix,total}}=(n_1+n_2)\,R\ln 2.}
Agora precisamos relacionar n_1 e n_2 com as pressões dadas, porque o exercício deu P_1 e P_2, não n nem V_0. Usando a equação dos gases ideais para cada seção inicial:
n_1=\frac{P_1 V_0}{R T},\qquad n_2=\frac{P_2 V_0}{R T}.
Somando,
n_1+n_2=\frac{(P_1+P_2)\,V_0}{R T}.
Substituindo em \Delta S_{\text{mix,total}} obtemos uma expressão em função de V_0, P_1, P_2 e T:
\boxed{\Delta S_{\text{mix,total}} = \frac{(P_1+P_2)\,V_0}{T}\,\ln 2.}
Essa fórmula é prática: se você souber V_0 (o volume de cada seção), substitui e obtém o valor numérico.

Passo 4

Entropia de mistura por mol (valor molar)
Se quisermos a entropia de mistura por mol de mistura (ou seja, \Delta S_{\text{mix,total}} dividido pelo número total de mols n_{\text{total}}=n_1+n_2), obtemos
\Delta s_{\text{mix,\,molar}} \equiv \frac{\Delta S_{\text{mix,total}}}{n_1+n_2} = R\ln 2.
Isto é muito elegante: para o caso em que as duas seções têm volumes iguais, a entropia de mistura por mol de mistura é independente das pressões individuais — é simplesmente R\ln 2. Numericamente, com R=8{,}314462618\\ \mathrm{J\,mol^{-1}K^{-1}},
R\ln 2 \approx 8{,}314462618\times 0{,}69314718056 \approx 5{,}762\\ \mathrm{J\,mol^{-1}K^{-1}}.
Comentário rápido e motivador: isso significa que, por cada mol total de gás que há no recipiente, a mistura produziu cerca de 5{,}76\\ \mathrm{J/K} de entropia ao remover a parede — bonito e simples.

Passo 5

Se você quiser um número para a entropia total (não por mol) sem ter V_0 dado, uma opção prática é apresentar o resultado por unidade de volume inicial (por exemplo, tomando V_0=1\\ \mathrm{m^3} para cada seção) ou deixar a expressão simbólica. Vou dar a expressão simbólica (que já achei) e também um exemplo numérico para V_0=1\\ \mathrm{m^3} — assim você tem ideia da ordem de grandeza.
  • Expressão simbólica (repetindo)
\Delta S_{\text{mix,total}}=\frac{(P_1+P_2)\,V_0}{T}\ln 2.
  • Substituindo os dados em unidades SI (e lembrando T=298{,}15\\ \mathrm{K}, P_1=100{,}0\\ \mathrm{kPa}=100000\\ \mathrm{Pa}, P_2=75{,}0\\ \mathrm{kPa}=75000\\ \mathrm{Pa}):
\Delta S_{\text{mix,total}} = \frac{(100000+75000)\,V_0}{298{,}15}\ln 2 = \frac{175000\,V_0}{298{,}15}\ln 2.
  • Exemplo numérico para V_0=1\\ \mathrm{m^3} (cada seção com 1\\ \mathrm{m^3}):
    • Calculando dá aproximadamente
    \Delta S_{\text{mix,total}}\big|_{V_0=1\\ \mathrm{m^3}} \approx 4{,}07\times 10^{2}\\ \mathrm{J\,K^{-1}}(ou seja, cerca de 407\\ \mathrm{J/K}). Esse número é só um exemplo de magnitude; para outro V_0 multiplica-se por esse V_0.

Resposta

\Delta s_{\text{mix, molar}} = R\ln 2 \approx 5{,}762\\ \mathrm{J\,mol^{-1}K^{-1}}
\displaystyle \Delta S_{\text{mix,total}} = \frac{(P_1+P_2)\,V_0}{T}\,\ln 2 \quad\text{(com \(P_1=100{,}0\\ \mathrm{kPa},\\ P_2=75{,}0\\ \mathrm{kPa},\\ T=298{,}15\\ \mathrm{K})})
\Delta S_{\text{mix,total}}\big|_{V_0=1\\ \mathrm{m^3}} \approx 4{,}07\times10^{2}\\ \mathrm{J\,K^{-1}}

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