Um recipiente é dividido em duas seções de tamanhos iguais. O da esquerda contém hidrogênio na pressão de
e o da direita contém nitrogênio na pressão de
, ambos a
. Calcule a entropia de mistura quando a separação é removida. Admita que os gases se comportam como gases perfeitos.
Passo 1
O enunciado dá o seguinte (não quero perder você já no começo — vamos devagar):
- Um recipiente está dividido em duas seções de volumes iguais; chamo cada seção de
. - Seção esquerda: hidrogênio (H
) à pressão e temperatura . - Seção direita: nitrogênio (N
) à pressão e temperatura . - Ambas as porções estão à mesma temperatura
, ou seja . - A separação é removida e os gases se misturam; eles são ideais (gás perfeito).
O que o enunciado pede:
- Calcular a entropia de mistura resultante quando a separação é removida.
Observações importantes (para não nos confundirmos depois):
- O enunciado não informa o volume absoluto de cada seção
. Por isso, a entropia total de mistura dependerá de quantas mols de gás houver (isto é, dependerá de ). - Podemos, porém, obter duas coisas úteis e distintas:
- a expressão geral para
em função de (se você souber o volume, basta substituir); - a entropia de mistura por mol de mistura (valor molar, que NÃO depende de
).
Vou calcular as duas coisas: a fórmula geral e o valor molar numérico.
- a expressão geral para
Passo 2
Conceito-chave e fórmula que vamos usar (explicadinha e tranquila):
- Para um gás ideal monoespécie, a entropia molar (função de estado) a temperatura
e pressão pode ser escrita, com uma referência qualquer, assim:
onde
é a constante dos gases ideais e
depende só de
. O que importa aqui é que, a
constante, a variação de entropia ao passar de pressão
para
é
-
Por ser função de estado, a variação total de entropia ao ir do estado inicial (dois compartimentos separados) ao estado final (mistura homogênea) pode ser obtida escolhendo um percurso reversível conveniente. Para gases ideais é prático usar a expressão acima com as pressões iniciais (cada gás puro em sua seção) e as pressões parciais finais na mistura.
-
Relação útil (gás ideal): para cada componente
,
porque na mistura o componente
ainda satisfaz a equação de estado ideal usando o volume total
. Assim, a razão
.
- Logo, a contribuição de cada componente
para a variação de entropia total é
E a variação total é a soma sobre os componentes:
Essa é a fórmula que vou aplicar — é direta, física e evita armadilhas.
Passo 3
Aplicando ao nosso caso (dois compartimentos, volumes iguais):
- Os volumes iniciais são
. O volume total após remover a separação é
- Substituindo na fórmula de cima:
Portanto, para volumes iniciais iguais a entropia de mistura total é simplesmente
Agora precisamos relacionar
e
com as pressões dadas, porque o exercício deu
e
, não
nem
. Usando a equação dos gases ideais para cada seção inicial:
Somando,
Substituindo em
obtemos uma expressão em função de
,
,
e
:
Essa fórmula é prática: se você souber
(o volume de cada seção), substitui e obtém o valor numérico.
Passo 4
Entropia de mistura por mol (valor molar)
Se quisermos a entropia de mistura por mol de mistura (ou seja,
dividido pelo número total de mols
), obtemos
Isto é muito elegante: para o caso em que as duas seções têm volumes iguais, a entropia de mistura por mol de mistura é independente das pressões individuais — é simplesmente
. Numericamente, com
,
Comentário rápido e motivador: isso significa que, por cada mol total de gás que há no recipiente, a mistura produziu cerca de
de entropia ao remover a parede — bonito e simples.
Passo 5
Se você quiser um número para a entropia total (não por mol) sem ter
dado, uma opção prática é apresentar o resultado por unidade de volume inicial (por exemplo, tomando
para cada seção) ou deixar a expressão simbólica. Vou dar a expressão simbólica (que já achei) e também um exemplo numérico para
— assim você tem ideia da ordem de grandeza.
- Expressão simbólica (repetindo)
- Substituindo os dados em unidades SI (e lembrando
, , ):
- Exemplo numérico para
(cada seção com ): - Calculando dá aproximadamente
(ou seja, cerca de ). Esse número é só um exemplo de magnitude; para outro multiplica-se por esse .
Resposta
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