Um recipiente é dividido em duas seções de tamanhos iguais. O da esquerda contém neônio nas condições normais e o da direita contém argônio na mesma condição. Calcule a entropia de mistura quando a separação é removida. Admita o comportamento de gás perfeito.

Passo 1

O enunciado diz: um recipiente é dividido em duas seções de tamanhos iguais. A seção da esquerda contém neônio nas condições normais e a da direita contém argônio nas mesmas condições. Pede-se calcular a entropia de mistura quando a separação é removida, assumindo comportamento de gás perfeito.
Informações relevantes (tiradas do enunciado):
  • As duas seções têm volumes iguais.
  • As duas substâncias estão nas mesmas condições iniciais de temperatura e pressão (condições normais).
  • Os gases são diferentes (neônio e argônio) e comportam-se como gases ideais.
  • Deve-se calcular a variação de entropia associada à mistura ao remover a separação.
O que se pede claramente: calcular ΔS (entropia de mistura) do processo de remoção da barreira e mistura dos dois gases.

Passo 2

Ideia física e estratégia de cálculo (sem resolver ainda): quando a separação é removida os dois gases se misturam espontaneamente. A mistura é irreversível, mas para calcular a variação de entropia do sistema podemos imaginar um caminho reversível que leve dos mesmos estados iniciais aos mesmos estados finais. Para gases ideais, um caminho conveniente é considerar que cada gás realiza uma expansão isotérmica reversível até ocupar o volume total disponível. Assim, calculamos a variação de entropia de cada gás pela fórmula da expansão isotérmica de gás ideal e somamos as contribuições. Vou explicar e justificar cada fórmula que eu usar.

Passo 3

Fórmula básica: entropia de um gás ideal na expansão isotérmica.
Explicação didática: a entropia S de um sistema tem a diferencial \mathrm{d}S=\dfrac{\delta Q_{\text{rev}}}{T}. Para um gás ideal em processo isotérmico (temperatura T constante) a primeira lei diz \delta Q_{\text{rev}}=\mathrm{d}U+\delta W. Para gás ideal em processo isotérmico temos \mathrm{d}U=0, então \delta Q_{\text{rev}}=\delta W=P\,\mathrm{d}V. Pela equação de estado do gás ideal P=\dfrac{nRT}{V}. Substituindo,
\mathrm{d}S=\frac{\delta Q_{\text{rev}}}{T}=\frac{P\,\mathrm{d}V}{T}=\frac{nR}{V}\,\mathrm{d}V.
Integrando de um volume inicial V_i a um volume final V_f,
\Delta S = \int_{V_i}^{V_f} \frac{nR}{V}\,\mathrm{d}V = nR\ln\!\left(\frac{V_f}{V_i}\right).
Aqui explico cada símbolo:
  • n = número de mols do gás (quantidade que está se expandindo);
  • R = constante universal dos gases perfeitos ( R\approx 8{,}314462\\ \mathrm{J\\ mol^{-1}\\ K^{-1}});
  • V_i = volume inicial ocupado por esse gás;
  • V_f = volume final ocupado por esse gás após a expansão;
  • \ln = logaritmo natural.
Essa é a fórmula que vamos usar para cada gás.

Passo 4

Aplicando ao problema: volumes iniciais e finais.
Cada gás ocupa inicialmente metade do recipiente; chamo esse volume inicial de V para cada seção. Quando a separação é removida, cada gás passará a ocupar o volume total 2V. Logo, para cada gás V_i=V e V_f=2V, então
\Delta S_{\text{para um gás}}=nR\ln\!\left(\frac{2V}{V}\right)=nR\ln 2.á
Como há dois gases (neônio e argônio) e as quantidades de matéria são iguais em cada seção porque estavam na mesma T e P (para gás ideal, mesmas T,P ⇒ mesmo volume molar ⇒ mesmos mols em volumes iguais), chamando n o número de mols de cada gás, a contribuição total é a soma:
\Delta S_{\text{total}}=\Delta S_{\text{Ne}}+\Delta S_{\text{Ar}}=nR\ln 2 + nR\ln 2 = 2nR\ln 2.
Se quiser escrever em função do número total de mols N do sistema, onde N=2n, obtemos
\Delta S_{\text{total}} = N R \ln 2.

Passo 5

Interpretações e valores numéricos úteis (explicando cada escolha).
  • Entropia por mol de mistura (ou seja, variação de entropia por mol do total de N mols): dividir \Delta S_{\text{total}} por N
\frac{\Delta S_{\text{total}}}{N}=R\ln 2.
Significado: a cada mol de mistura a entropia aumenta em R\ln 2.
  • Valor numérico: usando R\approx 8{,}314462\\ \mathrm{J\\ mol^{-1}\\ K^{-1}} e \ln 2\approx 0,693147,
R\ln 2 \approx 8{,}314462\times 0,693147 \approx 5{,}76\\ \mathrm{J\\ mol^{-1}\\ K^{-1}}.
  • Exemplo concreto: se havia 1 mol de neônio em uma seção e 1 mol de argônio na outra (portanto N=2 mols no total), então
\Delta S_{\text{total}} = N R \ln 2 = 2 R \ln 2 \approx 2\times5{,}76 \approx 11{,}53\\ \mathrm{J\\ K^{-1}}.

Passo 6

Observações finais e intuição (didática, sem formalismo excessivo):
  • A variação de entropia de mistura para gases ideais depende só das frações molares finais (aqui x_{\text{Ne}}=x_{\text{Ar}}=1/2) e não das identidades químicas (além de serem diferentes); por isso obtemos R\ln 2 por mol.
  • Se os gases fossem idênticos (por exemplo neônio de ambos os lados), não haveria aumento de entropia ao remover a separação — isso é o ponto da chamada “paradoxo de Gibbs”, que mostra que só há ganho de entropia quando há mistura de espécies distinguíveis.
  • Resultado prático: sem saber quantos mols havia, a resposta mais geral é \Delta S_{\text{total}}=N R \ln 2. Se preferir resposta por mol, \Delta S/N=R\ln 2\approx 5{,}76\\ \mathrm{J\\ mol^{-1}\\ K^{-1}}.

Resposta

\displaystyle \Delta S_{\text{total}} = N R \ln 2 \
\displaystyle \frac{\Delta S_{\text{total}}}{N} = R \ln 2 \approx 5{,}76\\ \mathrm{J\\ mol^{-1}\\ K^{-1}}

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