Calcule a equação do plano tangente e uma equação paramétrica da reta normal ao gráfico de
no ponto indicado.
;
Passo 1
O enunciado pede duas coisas no ponto indicado:
- Calcular a equação do plano tangente ao gráfico de
no ponto . - Encontrar uma equação paramétrica da reta normal a esse gráfico no mesmo ponto.
Informações dadas:
- A função é
. - O ponto do gráfico é
. (Note que , por isso o ponto é consistente com o gráfico.)
Passo 2
Conceito útil (explicação didática): para uma superfície dada por
, o plano tangente no ponto
é a melhor aproximação linear da superfície perto desse ponto. A fórmula padrão do plano tangente é
onde
e
são as derivadas parciais de
.
O que isso significa intuitivamente: é a inclinação da superfície na direção do eixo
(mantendo
fixo) e
é a inclinação na direção do eixo
(mantendo
fixo). O plano tangente usa essas inclinações para formar uma superfície linear que toca a superfície original no ponto e tem as mesmas inclinações nas direções coordenadas.
O que isso significa intuitivamente:
Passo 3
Vamos calcular as derivadas parciais de
.
Usamos a regra da cadeia: se
com
, então
Calculando
e
:
Portanto as parciais são
Explicação do que fizemos: multiplicamos a derivada do exponencial pelo derivado interno
ou
. Não se preocupe se isso parecer mecânico — é regra da cadeia aplicada a funções compostas.
Passo 4
Agora avaliamos as derivadas no ponto
.
Calcule
:
Calcule
:
Interpretação simples: a inclinação na direção
é zero (a superfície é “horizontal” nessa direção naquele ponto) e na direção
a inclinação é
.
Passo 5
Substituímos na fórmula do plano tangente:
Sabendo que
,
e
, obtemos
ou seja
Podemos também escrever em forma implícita:
Passo 6
Agora vamos obter a reta normal. Conceito e método: o vetor normal ao plano tangente é perpendicular ao plano e pode ser lido diretamente pelos coeficientes da forma implícita do plano
(o vetor normal é
). Da forma
temos, rearranjando,
portanto um vetor normal é
.
Outra forma padrão é usar a função
. O gradiente
é normal à superfície; avaliando em
daria
, que é apenas o oposto de
. Ambos indicam a mesma reta normal (direções opostas).
Passo 7
Equação paramétrica da reta normal: a reta que passa por
onde (t\in\mathbb{R}] é o parâmetro.
Observação: poderíamos também usar a direção oposta
; isso apenas troca o sinal do parâmetro
. Ambas representam a mesma reta geométrica.]
Resposta
Plano tangente:
Reta normal (paramétrica):