Calcule a equação do plano tangente e uma equação paramétrica da reta normal ao gráfico de f no ponto indicado.
f(x, y)=e^{x^{2} y} \quad(1,0,1);

Passo 1

O enunciado pede duas coisas no ponto indicado:
  • Calcular a equação do plano tangente ao gráfico de f no ponto (1,0,1).
  • Encontrar uma equação paramétrica da reta normal a esse gráfico no mesmo ponto.
Informações dadas:
  • A função é f(x,y)=e^{x^{2}y}.
  • O ponto do gráfico é (1,0,1). (Note que f(1,0)=e^{1^{2}\cdot 0}=e^{0}=1, por isso o ponto é consistente com o gráfico.)

Passo 2

Conceito útil (explicação didática): para uma superfície dada por z=f(x,y), o plano tangente no ponto (x_0,y_0,z_0) é a melhor aproximação linear da superfície perto desse ponto. A fórmula padrão do plano tangente é
z = f(x_0,y_0) + f_x(x_0,y_0)\,(x-x_0) + f_y(x_0,y_0)\,(y-y_0),
onde f_x e f_y são as derivadas parciais de f.
O que isso significa intuitivamente: f_x(x_0,y_0) é a inclinação da superfície na direção do eixo x (mantendo y fixo) e f_y(x_0,y_0) é a inclinação na direção do eixo y (mantendo x fixo). O plano tangente usa essas inclinações para formar uma superfície linear que toca a superfície original no ponto e tem as mesmas inclinações nas direções coordenadas.

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais de f(x,y)=e^{x^{2}y}.
Usamos a regra da cadeia: se f(x,y)=e^{u(x,y)} com u(x,y)=x^{2}y, então
f_x = e^{u(x,y)}\cdot u_x,\qquad f_y = e^{u(x,y)}\cdot u_y.
Calculando u_x e u_y:
u(x,y)=x^{2}y \implies u_x = 2x y,\qquad u_y = x^{2}.
Portanto as parciais são
f_x(x,y) = 2x y \, e^{x^{2}y},
f_y(x,y) = x^{2}\, e^{x^{2}y}.
Explicação do que fizemos: multiplicamos a derivada do exponencial pelo derivado interno u_x ou u_y. Não se preocupe se isso parecer mecânico — é regra da cadeia aplicada a funções compostas.

Passo 4

Agora avaliamos as derivadas no ponto (x_0,y_0)=(1,0).
Calcule f_x(1,0):
f_x(1,0)=2\cdot 1\cdot 0 \cdot e^{1^{2}\cdot 0}=0\cdot e^{0}=0.
Calcule f_y(1,0):
f_y(1,0)=1^{2}\cdot e^{1^{2}\cdot 0}=1\cdot e^{0}=1.
Interpretação simples: a inclinação na direção x é zero (a superfície é “horizontal” nessa direção naquele ponto) e na direção y a inclinação é 1.

Passo 5

Substituímos na fórmula do plano tangente:
z = f(1,0) + f_x(1,0)\,(x-1) + f_y(1,0)\,(y-0).
Sabendo que f(1,0)=1, f_x(1,0)=0 e f_y(1,0)=1, obtemos
z = 1 + 0\cdot (x-1) + 1\cdot y,
ou seja
z = 1 + y.
Podemos também escrever em forma implícita:
z - y - 1 = 0.

Passo 6

Agora vamos obter a reta normal. Conceito e método: o vetor normal ao plano tangente é perpendicular ao plano e pode ser lido diretamente pelos coeficientes da forma implícita do plano a x + b y + c z + d = 0 (o vetor normal é (a,b,c)). Da forma z - y - 1 = 0 temos, rearranjando,
0\cdot x -1\cdot y +1\cdot z -1 = 0,
portanto um vetor normal é (0,-1,1).
Outra forma padrão é usar a função F(x,y,z)=f(x,y)-z. O gradiente \nabla F=(f_x,f_y,-1) é normal à superfície; avaliando em (1,0,1) daria (0,1,-1), que é apenas o oposto de (0,-1,1). Ambos indicam a mesma reta normal (direções opostas).

Passo 7

Equação paramétrica da reta normal: a reta que passa por (x_0,y_0,z_0)=(1,0,1)\) e tem direção dada pelo vetor normal \((0,-1,1)\) é \[\begin{cases} x(t) = 1 + 0\cdot t = 1,\\[4pt] y(t) = 0 - 1\cdot t = -t,\\[4pt] z(t) = 1 + 1\cdot t = 1 + t, \end{cases}
onde (t\in\mathbb{R}] é o parâmetro.
Observação: poderíamos também usar a direção oposta (0,1,-1); isso apenas troca o sinal do parâmetro t. Ambas representam a mesma reta geométrica.]

Resposta

Plano tangente: z = 1 + y
Reta normal (paramétrica): \;x(t)=1,\;y(t)=-t,\;z(t)=1+t

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