Calcule as equações da reta tangente e do plano normal à curva alpha(t)=t i-t^2 j-t^3 k, no ponto alpha(-1). (Resposta: r(s)=(s-1) i+ (2 s-1) j+(1-3 s) k, x+2 y-3 z+6=0)

Passo 1

Entendendo o problema: a curva é dada por alpha(t)=ti-t^2j-t^3k. Precisamos encontrar a reta tangente e o plano normal a essa curva no ponto alpha(-1). Vamos usar derivadas vetoriais para obter o vetor tangente e depois montar as equações da reta e do plano em R^3.

Passo 2

Calcular o ponto alpha(-1). Substituindo t=-1 na expressão da curva, temos:
alpha(-1)=(-1)i-(-1)^2j-(-1)^3k=-i-j+k

Passo 3

Determinar o vetor tangente alpha'(t) por derivação componente a componente:
alpha'(t)=ddtl(t,,-t^2,,-t^3r)=(1,,-2t,,-3t^2)
Avaliar alpha'(t) em t=-1:
alpha'(-1)=(1,,2,,-3)

Passo 4

Montar a reta tangente como r(s)=alpha(-1)+s,alpha'(-1). Em forma vetorial,
r(s)=(-!1,-!1,1)+s(1,2,-3)=(s-1,,2s-1,,1-3s)
Construir o plano normal: ele é ortogonal ao vetor tangente (1,2,-3), logo esse é o vetor normal do plano. A equação geral é (1,2,-3)cdot(x+1,,y+1,,z-1)=0.
Expandindo para obter a forma explícita do plano:
$$
1(x+1)+2(y+1)-3(z-1)=0
1(x+1)+2(y+1)-3(z-1)=0
x+2y-3z+6=0
$$

Resposta

Reta tangente: r(s)=(s-1)i+(2s-1)j+(1-3s)k. Plano normal: x+2y-3z+6=0.

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