Resolva a equação diferencial dada em série de potências de
(em torno de
). Escreva uma fórmula fechada para o termo geral de cada série que compõe a solução. Dê um intervalo onde a solução é válida.
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial usando séries de potências em torno de $ x_0 = 0 $. A equação que temos é:
Com as condições iniciais $ y(0) = 4 $ e $ y’(0) = -1 $. Para resolver isso, vamos precisar utilizar conceitos de séries de potências, derivadas de séries e comparar coeficientes para achar uma fórmula geral para os termos da série.
Passo 2
Primeiro, assumimos que a solução $ y(x) $ pode ser expressa como uma série de potências em torno de 0:
Passo 3
Agora, vamos encontrar as derivadas de $ y(x) $:
Passo 4
Substituímos $ y(x) $, $ y’(x) $ e $ y’’(x) $ na equação diferencial:
Passo 5
Vamos ajustar os índices para que todas as séries comecem do mesmo expoente. Para a primeira soma, fazemos $ k = n - 2 $:
Passo 6
Agora, renomeamos $ k $ para $ n $ na primeira soma:
Passo 7
Para combinar as séries, observamos que a segunda soma começa em $ n=1 $. Vamos escrever o termo $ n=0 $ separadamente:
Passo 8
Agora, combinamos todas as séries:
Passo 9
Para que a equação seja válida para todo $ x $, os coeficientes de cada potência de $ x^n $ devem ser iguais a zero:
Passo 10
Resolvendo a recorrência para $ a_{n+2} $:
Passo 11
Simplificando a fórmula de recorrência:
Isso nos mostra como os coeficientes pares e ímpares se relacionam entre si.
Passo 12
Agora, aplicamos as condições iniciais para encontrar $ a_0 $ e $ a_1 $:
Passo 13
Usando a fórmula de recorrência, calculamos os próximos coeficientes:
Para $ n = 0 $:
Para $ n = 1 $:
E assim por diante.
Passo 14
Observando o padrão, podemos escrever a fórmula geral para os coeficientes:
Passo 15
Portanto, a solução geral em série de potências é:
Resposta
A solução da equação diferencial em série de potências é:
O intervalo de validade da solução é todo o conjunto dos números reais, ou seja, $ -\infty < x < \infty $.