Resolva a equação diferencial dada em série de potências de x (em torno de x0=0 ). Escreva uma fórmula fechada para o termo geral de cada série que compõe a solução. Dê um intervalo onde a solução é válida.
y^prime prime+x y^prime+2 y=0, y(0)=4, y^prime(0)=-1.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial usando séries de potências em torno de $ x_0 = 0 $. A equação que temos é:
x0 = 0
Com as condições iniciais $ y(0) = 4 $ e $ y’(0) = -1 $. Para resolver isso, vamos precisar utilizar conceitos de séries de potências, derivadas de séries e comparar coeficientes para achar uma fórmula geral para os termos da série.

Passo 2

Primeiro, assumimos que a solução $ y(x) $ pode ser expressa como uma série de potências em torno de 0:
y(x)

Passo 3

Agora, vamos encontrar as derivadas de $ y(x) $:
y(x)
y'(x) = sumn=1^infty n an x^n-1

Passo 4

Substituímos $ y(x) $, $ y’(x) $ e $ y’’(x) $ na equação diferencial:
y(x)

Passo 5

Vamos ajustar os índices para que todas as séries comecem do mesmo expoente. Para a primeira soma, fazemos $ k = n - 2 $:
k = n - 2

Passo 6

Agora, renomeamos $ k $ para $ n $ na primeira soma:
k

Passo 7

Para combinar as séries, observamos que a segunda soma começa em $ n=1 $. Vamos escrever o termo $ n=0 $ separadamente:
n=1

Passo 8

Agora, combinamos todas as séries:
sumn=0^infty [ (n+2)(n+1) an+2 + n an + 2 an ] x^n = 0

Passo 9

Para que a equação seja válida para todo $ x $, os coeficientes de cada potência de $ x^n $ devem ser iguais a zero:
x

Passo 10

Resolvendo a recorrência para $ a_{n+2} $:
an+2

Passo 11

Simplificando a fórmula de recorrência:
an+2 = -1n+1 an
Isso nos mostra como os coeficientes pares e ímpares se relacionam entre si.

Passo 12

Agora, aplicamos as condições iniciais para encontrar $ a_0 $ e $ a_1 $:
a0
a1

Passo 13

Usando a fórmula de recorrência, calculamos os próximos coeficientes:
Para $ n = 0 $:
n = 0
Para $ n = 1 $:
a2 = -11 a0 = -4
E assim por diante.

Passo 14

Observando o padrão, podemos escrever a fórmula geral para os coeficientes:
an = 4 cdot (-1)^n/2(n/2)! & se n é par (-1)^(n-1)/2 cdot 1((n+1)/2)! & se n é ímpar ééí

Passo 15

Portanto, a solução geral em série de potências é:
y(x) = sumk=0^infty [ 4 cdot (-1)^kk! x^2k + (-1)^k(k+1)! x^2k+1 ]

Resposta

A solução da equação diferencial em série de potências é:
y(x) = sumk=0^infty [ 4 cdot (-1)^kk! x^2k + (-1)^k(k+1)! x^2k+1 ]
O intervalo de validade da solução é todo o conjunto dos números reais, ou seja, $ -\infty < x < \infty $.

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