Calcule as equações das retas tangentes à circunferência x^{2}+y^{2}-4 x+2 y-20=0, paralelas à reta 3 x-4 y=0

Passo 1

O enunciado dá a circunferência
x^{2}+y^{2}-4x+2y-20=0
e pede: encontrar as equações das retas tangentes a essa circunferência que sejam paralelas à reta
3x-4y=0.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • Equação da circunferência: x^{2}+y^{2}-4x+2y-20=0.
  • Reta dada (para a qual as tangentes devem ser paralelas): 3x-4y=0.
  • Pergunta: determinar as equações das retas tangentes à circunferência que têm a mesma direção (são paralelas) à reta dada.

Passo 2

Vamos reescrever a equação da circunferência na forma centro-raio para identificar o centro e o raio. Para isso uso o método de completar quadrados nas variáveis x e y.
A equação é
x^{2}-4x+y^{2}+2y-20=0.
Completo o quadrado em x:
x^{2}-4x=(x-2)^{2}-4.
Completo o quadrado em y:
y^{2}+2y=(y+1)^{2}-1.
Substituindo na equação:
(x-2)^{2}-4+(y+1)^{2}-1-20=0.
Agrupando constantes:
(x-2)^{2}+(y+1)^{2}-25=0.
Portanto a forma centro-raio é
(x-2)^{2}+(y+1)^{2}=25.
Isso mostra que o centro da circunferência é C=(2,-1) e o raio é r=5.

Passo 3

Precisamos das retas tangentes que são paralelas à reta dada 3x-4y=0. Primeiro encontro o coeficiente angular (slope) dessa reta.
Reescrevendo 3x-4y=0 em forma y=mx+c:
3x-4y=0 \quad\Longrightarrow\quad -4y=-3x \quad\Longrightarrow\quad y=\frac{3}{4}x.
Logo o coeficiente angular é m=\dfrac{3}{4}. Então qualquer reta paralela terá a mesma inclinação m=\dfrac{3}{4}.

Passo 4

Escrevo a equação geral de uma reta com inclinação m=\dfrac{3}{4} e intercepto b:
y=\frac{3}{4}x+b.
Para usar a fórmula da distância ponto-reta é conveniente colocar essa reta na forma ax+by+c=0. Multiplicando por 4:
4y=3x+4b \quad\Longrightarrow\quad 3x-4y+4b=0.
Assim, nesta forma temos a=3, b_{\text{coef}}=-4 (não confundir com o intercepto b) e c=4b (onde b à direita é o intercepto da reta).

Passo 5

Condição de tangência (intuição e fórmula): uma reta é tangente a uma circunferência quando a distância do centro C=(x_{0},y_{0}) da circunferência à reta é igual ao raio r. A fórmula da distância entre um ponto (x_{0},y_{0}) e uma reta ax+by+c=0 é
\text{dist}=\frac{|a x_{0}+b y_{0}+c|}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}.
Aqui a, b, c são os coeficientes da reta e x_{0},y_{0} são as coordenadas do ponto (centro).
Aplicando ao nosso caso: centro C=(2,-1), raio r=5, e reta 3x-4y+4b=0 (lembre que aqui c=4b). A condição \text{dist}=r
\frac{\big|3\cdot 2 + (-4)\cdot(-1) + 4b\big|}{\sqrt{3^{2}+(-4)^{2}}}=5.

Passo 6

Calculo o numerador e o denominador explicitamente.
Numerador:
3\cdot 2 + (-4)\cdot(-1) + 4b = 6 + 4 + 4b = 10 + 4b.
Denominador:
\sqrt{3^{2}+(-4)^{2}}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5.
A condição fica
\frac{|10+4b|}{5}=5.
Multiplicando por 5:
|10+4b|=25.
Isso gera duas equações:
10+4b=25 \quad\text{ou}\quad 10+4b=-25.
Resolvendo cada uma:
  • Se 10+4b=25 então 4b=15 e b=\dfrac{15}{4}.
  • Se 10+4b=-25 então 4b=-35 e b=-\dfrac{35}{4}.

Passo 7

Agora escrevo as duas retas tangentes obtidas substituindo os valores de b em y=\dfrac{3}{4}x+b.
Para b=\dfrac{15}{4}:
y=\frac{3}{4}x+\frac{15}{4}.
Em forma ax+by+c=0 (multiplicando por 4):
3x-4y+15=0.
Para b=-\dfrac{35}{4}:
y=\frac{3}{4}x-\frac{35}{4}.
Em forma ax+by+c=0 (multiplicando por 4):
3x-4y-35=0.
Essas são as duas retas buscadas. (Observação adicional: poderia também ser verificado substituindo y=\dfrac{3}{4}x+b na equação da circunferência e exigindo que a equação quadrática resultante em x tenha discriminante zero — isso leva às mesmas soluções para b.)

Resposta

3x-4y+15=0
3x-4y-35=0

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