Calcule as equações das retas tangentes à circunferência x^{2}+y^{2}-4 x+2 y-20=0, paralelas à reta 3 x-4 y=0
Passo 1
O enunciado dá a circunferência
x^{2}+y^{2}-4x+2y-20=0
e pede: encontrar as equações das retas tangentes a essa circunferência que sejam paralelas à reta
3x-4y=0.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
Equação da circunferência: x^{2}+y^{2}-4x+2y-20=0.
Reta dada (para a qual as tangentes devem ser paralelas): 3x-4y=0.
Pergunta: determinar as equações das retas tangentes à circunferência que têm a mesma direção (são paralelas) à reta dada.
Passo 2
Vamos reescrever a equação da circunferência na forma centro-raio para identificar o centro e o raio. Para isso uso o método de completar quadrados nas variáveis x e y.
A equação é
x^{2}-4x+y^{2}+2y-20=0.
Completo o quadrado em x:
x^{2}-4x=(x-2)^{2}-4.
Completo o quadrado em y:
y^{2}+2y=(y+1)^{2}-1.
Substituindo na equação:
(x-2)^{2}-4+(y+1)^{2}-1-20=0.
Agrupando constantes:
(x-2)^{2}+(y+1)^{2}-25=0.
Portanto a forma centro-raio é
(x-2)^{2}+(y+1)^{2}=25.
Isso mostra que o centro da circunferência é C=(2,-1) e o raio é r=5.
Passo 3
Precisamos das retas tangentes que são paralelas à reta dada 3x-4y=0. Primeiro encontro o coeficiente angular (slope) dessa reta.
Logo o coeficiente angular é m=\dfrac{3}{4}. Então qualquer reta paralela terá a mesma inclinação m=\dfrac{3}{4}.
Passo 4
Escrevo a equação geral de uma reta com inclinação m=\dfrac{3}{4} e intercepto b:
y=\frac{3}{4}x+b.
Para usar a fórmula da distância ponto-reta é conveniente colocar essa reta na forma ax+by+c=0. Multiplicando por 4:
4y=3x+4b \quad\Longrightarrow\quad 3x-4y+4b=0.
Assim, nesta forma temos a=3, b_{\text{coef}}=-4 (não confundir com o intercepto b) e c=4b (onde b à direita é o intercepto da reta).
Passo 5
Condição de tangência (intuição e fórmula): uma reta é tangente a uma circunferência quando a distância do centro C=(x_{0},y_{0}) da circunferência à reta é igual ao raio r. A fórmula da distância entre um ponto (x_{0},y_{0}) e uma reta ax+by+c=0 é
Agora escrevo as duas retas tangentes obtidas substituindo os valores de b em y=\dfrac{3}{4}x+b.
Para b=\dfrac{15}{4}:
y=\frac{3}{4}x+\frac{15}{4}.
Em forma ax+by+c=0 (multiplicando por 4):
3x-4y+15=0.
Para b=-\dfrac{35}{4}:
y=\frac{3}{4}x-\frac{35}{4}.
Em forma ax+by+c=0 (multiplicando por 4):
3x-4y-35=0.
Essas são as duas retas buscadas. (Observação adicional: poderia também ser verificado substituindo y=\dfrac{3}{4}x+b na equação da circunferência e exigindo que a equação quadrática resultante em x tenha discriminante zero — isso leva às mesmas soluções para b.)